【線形代数】6-3-1 線形写像｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「線形写像」および「線形変換」の基本概念をわかりやすく解説します。行列が定める線形写像の定義や線形性（加法性・スカラー倍）をはじめ、平面・空間における回転移動、対称移動、正射影、鏡映変換の各行列と具体的な例題・解答をコンパクトにまとめています。
線形写像を表す行列
【行列から定まる写像】
\(f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m\)を線形写像とし、\(\mathbb{R}^n\)の基本ベクトル\(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n\)の\(f\)による像を
\(f(\mathbf{e}_j)=\begin{pmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix}\ \ (j=1,2,\cdots,n)\)
とする。このとき
\(A=\begin{pmatrix}f(\mathbf{e}_1) & f(\mathbf{e}_2) & \cdots \\ f(\mathbf{e}_n)\end{pmatrix}=(a_{ij})\)
により\(m\times n\)行列\(A\)を定めれば、\(f=T_A\)が成り立つ。また、\(f\)に対してこのような行列\(A\)はただ1つである。この\(f=T_A\)となる行列\(A\)を\(f\)を表す行列という。
【零写像】
任意の\(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)に対して\(\mathbf{0}\in\mathbb{R}^m\)を対応させる写像
\(f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m,\ \ f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\)
を表す行列は零行列\(O_{m,n}\)である。この線形写像を零写像という。
【恒等写像】
各\(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)に\(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)を対応させる写像
\(f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n,\ \ f(\mathbf{x})=\mathbf{x}\)
を表す行列は\(n\)次単位行列\(E_n\)である。この線形変換を\(\mathbb{R}^n\)の恒等変換といい、\(\mathrm{id}\)で表す。
【例題】次の条件を満たすものを全て求めなさい。
\(f(1)=a\)
\(f(x)=f(x\cdot1)=xf(1)=ax\)
が成り立つ。これは線形変換であるので、
\(f(x)=ax\)
\(f\left(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix},\)
\(f\left(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}p \\ q \\ r\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2\)
と表すと、
\(f(\mathbf{x})=xf(\mathbf{e}_1)+yf(\mathbf{e}_2)\)
\(=x\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}p \\ q \\ r\end{pmatrix}\)
\(=x\begin{pmatrix}a & p \\ b & q \\ c & r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
よって、
\(f(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}a & p \\ b & q \\ c & r\end{pmatrix}\mathbf{x}\)
合成変換と逆変換
【線形写像の合成変換】
\(f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m,g:\mathbb{R}^m\longrightarrow\mathbb{R}^l\)を線形写像とし、さらに\(f=T_A,g=T_B\)であるとする。このとき、合成写像\(g\circ f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^l\)を表す行列は\(BA\)である。つまり、
\(T_B\circ T_A=T_{BA}\)
が成り立つ。