【線形代数】6-3-1 線形写像｜問題集
1.次の問いに答えなさい。
(1)行列\(A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\)で定まる\(\mathbb{R}^3\)の線形変換\(f\)がある。直線\(\displaystyle l:\frac{x-1}{3}=-\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{5}\)が\(f\)により写される図形の方程式を求めなさい。
\(\displaystyle t=\frac{x-1}{3}=-\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{5}\)とおくと、
\(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ -2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、
\(f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ -2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ -9\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}19 \\ 15 \\ 4\end{pmatrix}\)
よって、直線の方程式は
\(\displaystyle \frac{x+8}{19}=\frac{y-1}{15}=\frac{z+9}{4}\)
\(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ -2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、
\(f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ -2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ -9\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}19 \\ 15 \\ 4\end{pmatrix}\)
よって、直線の方程式は
\(\displaystyle \frac{x+8}{19}=\frac{y-1}{15}=\frac{z+9}{4}\)
(2)行列\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & 7\end{pmatrix}\)で定まる\(\mathbb{R}^3\)の線形変換\(f\)がある。方程式\(y+cz=0\)で定まる平面が\(f\)によって直線で写るとき、定数\(c\)の値を求めなさい。
平面\(y+cz=0\)のパラメータ表示は
\(\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0 \\ c \\ -1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
すなわち、
\(f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\)
\(=s\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ c \\ -1\end{pmatrix}\)
\(=s\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2c-1 \\ c+4 \\ 2c-7\end{pmatrix}\)
これが直線を表すには、実数\(k\)が存在して、
\(k\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c-1 \\ c+4 \\ 2c-7\end{pmatrix}\)
これを解くと、\(c=-1,k=-3\)
\(\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0 \\ c \\ -1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
すなわち、
\(f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\)
\(=s\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ c \\ -1\end{pmatrix}\)
\(=s\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2c-1 \\ c+4 \\ 2c-7\end{pmatrix}\)
これが直線を表すには、実数\(k\)が存在して、
\(k\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c-1 \\ c+4 \\ 2c-7\end{pmatrix}\)
これを解くと、\(c=-1,k=-3\)
(3)二次正方行列\(A\)で定まる\(\mathbb{R}^2\)の線形変換\(f\)が、点\((1,2)\)を\((-4,3)\)へ、点\((5,-2)\)を\((0,1)\)へ写すとする。行列\(A\)を求めなさい。
与えられた条件を行列とベクトルで表すと
\(A\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(X=\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\Delta(X)=-2-10=-12\)
\(\displaystyle X^{-1}=-\frac{1}{12}\begin{pmatrix}-2 & -5 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(A=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}X^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-4 & -10 \\ 4 & 7\end{pmatrix}\)
\(A\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(X=\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\Delta(X)=-2-10=-12\)
\(\displaystyle X^{-1}=-\frac{1}{12}\begin{pmatrix}-2 & -5 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(A=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}X^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-4 & -10 \\ 4 & 7\end{pmatrix}\)
(4)原点を\(O\)とする座標平面上の点列\(P_n(x_n,y_n)(n=1,2,3,\cdots)\)を
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_n \\ y_n\end{pmatrix}\ \ (n=1,2,3,\cdots)\)
で定める。三角形\(OP_nP_{n+1}\)の面積を\(S_n\)とするとき、無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n\)を求めなさい。
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_n \\ y_n\end{pmatrix}\ \ (n=1,2,3,\cdots)\)
で定める。三角形\(OP_nP_{n+1}\)の面積を\(S_n\)とするとき、無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n\)を求めなさい。
漸化式で現れる行列は
\(\displaystyle \frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}\)
線分\(OP_n\)は初項\(OP_1=1\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の等比数列なので
\(\displaystyle OP_n=\frac{1}{3^{n-1}}\)
すなわち、
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\cdot OP_n\cdot OP_{n+1}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12\cdot9^{n-1}}\)
初項\(\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{2}}{12}\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{9}\)の無限等比級数なので、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\frac{\frac{\sqrt{2}}{12}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{32}\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}\)
線分\(OP_n\)は初項\(OP_1=1\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の等比数列なので
\(\displaystyle OP_n=\frac{1}{3^{n-1}}\)
すなわち、
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\cdot OP_n\cdot OP_{n+1}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12\cdot9^{n-1}}\)
初項\(\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{2}}{12}\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{9}\)の無限等比級数なので、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\frac{\frac{\sqrt{2}}{12}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{32}\)
(5)平面における直線\(y=\sqrt{3}x\)に関する対称移動を\(f\)、\(y=-\sqrt{3}x\)に関する対称移動を\(g\)とおく。合成変換\(g\circ f\)は原点を中心とした回転移動であることを示し、回転角を求めなさい。
対称移動\(f\)を表す行列を\(A\)とすると、
\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & 2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
対称移動\(g\)を表す行列を\(B\)とすると、
\(\displaystyle B=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & -2\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
よって、合成変換\(g\circ f\)は
\(\displaystyle BA=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & -2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & -2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =R\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)
すなわち、
\(g\circ f\)は原点を中心とした\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}\)の回転移動である。
\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & 2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
対称移動\(g\)を表す行列を\(B\)とすると、
\(\displaystyle B=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & -2\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
よって、合成変換\(g\circ f\)は
\(\displaystyle BA=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2 & -2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & -2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =R\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)
すなわち、
\(g\circ f\)は原点を中心とした\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}\)の回転移動である。
(6)平面における直線\(y=(\tan\theta)x\)に関する対称移動は、\(x\)軸に関する対称移動をしてから原点中心に\(2\theta\)回転させる変換と等しいことを証明しなさい。
対称移動を表す行列を\(A\)として、\(m=\tan\theta\)とおくと
\(\displaystyle A=\frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix}\)
\(=\cos^2\theta\begin{pmatrix}1-\tan^2\theta & 2\tan\theta \\ 2\tan\theta & m^2-1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta & 2\sin\theta\cos\theta \\ 2\sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta-\cos^2\theta\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\theta & -\sin2\theta \\ \sin2\theta & \cos2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)
\(=R(2\theta)J_x\)
よって、
\(x\)軸に関する対称移動と\(2\theta\)の回転を続けた変換は\(y=(\tan\theta)x\)に関する対称移動に等しい。
\(\displaystyle A=\frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix}\)
\(=\cos^2\theta\begin{pmatrix}1-\tan^2\theta & 2\tan\theta \\ 2\tan\theta & m^2-1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta & 2\sin\theta\cos\theta \\ 2\sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta-\cos^2\theta\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\theta & -\sin2\theta \\ \sin2\theta & \cos2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)
\(=R(2\theta)J_x\)
よって、
\(x\)軸に関する対称移動と\(2\theta\)の回転を続けた変換は\(y=(\tan\theta)x\)に関する対称移動に等しい。
(7)\(a,b,c\)を実数とし、\(A=\begin{pmatrix}a & 1 \\ b & c\end{pmatrix}\)とする。行列\(A\)で表される原点\(O\)の座標平面上の線形変換\(f\)が以下の2条件
・点\((1,2)\)を点\((1,2)\)に写る。
・点\((1,0)\)と点\((1,0)\)が\(f\)によってそれぞれ点\(A\)と\(B\)に写るとき、三角形\(OAB\)の面積が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)である。
を満たすとき、\(a,b,c\)の値を求めなさい。
・点\((1,2)\)を点\((1,2)\)に写る。
・点\((1,0)\)と点\((1,0)\)が\(f\)によってそれぞれ点\(A\)と\(B\)に写るとき、三角形\(OAB\)の面積が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)である。
を満たすとき、\(a,b,c\)の値を求めなさい。
点\((1,2)\)を点\((1,2)\)に写るので
\(f\left(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a & 1 \\ b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a+2 \\ b+2c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
これを解くと、\(a=-1,b+2c=2\)
また、\(A\)と\(B\)の座標を求めると
\(f\left(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ b\end{pmatrix}\)
\(f\left(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ c\end{pmatrix}\)
三角形\(OAB\)の面積が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので
\(\displaystyle △OAB=\frac{1}{2}|(-1)c-b\cdot1|=\frac{|b+c|}{2}=\frac{1}{2}\)
これを解くと、\(|b+c|=1\)
よって、
\((a,b,c)=(-1,0,1),(-1,-4,3)\)
\(f\left(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a & 1 \\ b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a+2 \\ b+2c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
これを解くと、\(a=-1,b+2c=2\)
また、\(A\)と\(B\)の座標を求めると
\(f\left(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ b\end{pmatrix}\)
\(f\left(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ c\end{pmatrix}\)
三角形\(OAB\)の面積が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので
\(\displaystyle △OAB=\frac{1}{2}|(-1)c-b\cdot1|=\frac{|b+c|}{2}=\frac{1}{2}\)
これを解くと、\(|b+c|=1\)
よって、
\((a,b,c)=(-1,0,1),(-1,-4,3)\)
(8)\(a\)を実数の定数とする。
\(\begin{pmatrix}-2 & -1 \\ 5 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
を満たす点\((x,y)\)の描く図形が直線であるとき、\(a\)の値とその直線の方程式を求めなさい。
\(\begin{pmatrix}-2 & -1 \\ 5 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
を満たす点\((x,y)\)の描く図形が直線であるとき、\(a\)の値とその直線の方程式を求めなさい。
\(A=\begin{pmatrix}-2 & -1 \\ 5 & 4\end{pmatrix}\)とおくと、
\((A-aE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(A-aE\)が正則であるとすると、\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)となり原点のみになるので、不適である。
すなわち、
\(A-aE=\begin{pmatrix}-2-a & -1 \\ 5 & 4-a\end{pmatrix}\)
は正則でないので、
\(\delta(A-aE)=(-2-a)(4-a)+5=(a-3)(a+1)=0\)
\(a=3,-1\)
\(a=3\)のとき
\((A-3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5x-y \\ 5x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
直線\(y=-5x\)
\(a=-1\)のとき
\((A+E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x-y \\ 5x+5y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
直線\(y=-x\)
よって、
\(a=3\)のとき、\(y=-5x\)
\(a=-1\)のとき、\(y=-x\)
\((A-aE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(A-aE\)が正則であるとすると、\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)となり原点のみになるので、不適である。
すなわち、
\(A-aE=\begin{pmatrix}-2-a & -1 \\ 5 & 4-a\end{pmatrix}\)
は正則でないので、
\(\delta(A-aE)=(-2-a)(4-a)+5=(a-3)(a+1)=0\)
\(a=3,-1\)
\(a=3\)のとき
\((A-3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5x-y \\ 5x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
直線\(y=-5x\)
\(a=-1\)のとき
\((A+E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x-y \\ 5x+5y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
直線\(y=-x\)
よって、
\(a=3\)のとき、\(y=-5x\)
\(a=-1\)のとき、\(y=-x\)
2.\(\mathbb{R}^3\)の線形変換\(f\)が\(\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}\)を\(\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}\)に、\(\begin{pmatrix}-2 \\ 7 \\ 3\end{pmatrix}\)を\(\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)へ写すとする。
(1)\(\begin{pmatrix}13 \\ -17 \\ 6\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ 7 \\ 3\end{pmatrix}\)となる実数\(s\)と\(t\)が存在することを示し、\(s\)と\(t\)の値を求めなさい。
連立方程式を作ると
\(\left\{\begin{array}{l}13=3s-2t \\ -17=-s+7t \\ 6=4s+3t\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(s=3,t=-2\)
\(\left\{\begin{array}{l}13=3s-2t \\ -17=-s+7t \\ 6=4s+3t\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(s=3,t=-2\)
(2)\(f\left(\begin{pmatrix}13 \\ -17 \\ 6\end{pmatrix}\right)\)を求めなさい。
\(\mathbf{a}=\begin{pmatrix}13 \\ -17 \\ 6\end{pmatrix},\mathbf{u}=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix},\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-2 \\ 7 \\ 3\end{pmatrix}\)とおくと
\(\mathbf{a}=3\mathbf{u}-2\mathbf{v}\)
よって、
\(f(\mathbf{a})=f(3\mathbf{u}-2\mathbf{v})\)
\(=3f(\mathbf{u})-2f(\mathbf{v})\)
\(=3\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-4 \\ 11 \\ 13\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{a}=3\mathbf{u}-2\mathbf{v}\)
よって、
\(f(\mathbf{a})=f(3\mathbf{u}-2\mathbf{v})\)
\(=3f(\mathbf{u})-2f(\mathbf{v})\)
\(=3\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-4 \\ 11 \\ 13\end{pmatrix}\)
3.\(\displaystyle A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\)とおく。
(1)\(A^3\)を求めなさい。
\(A=\begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}{3} & -\sin\frac{2\pi}{3} \\ \sin\frac{2\pi}{3} & \cos\frac{2\pi}{3}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^3=\begin{pmatrix}\cos2\pi & -\sin2\pi \\ \sin2\pi & \cos2\pi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=E\)
よって、
\(A^3=\begin{pmatrix}\cos2\pi & -\sin2\pi \\ \sin2\pi & \cos2\pi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=E\)
(2)\(E+A+A^2+\cdots+A^{2020}\)を求めなさい。
\(A^3=E\)なので自然数\(k\)に対して
\(A^{3k}+A^{3k+1}+A^{3k+2}=E+A+A^2\)
また、ケーリー・ハミルトンの定理より
\(E+A+A^2=O\)
よって、
\(E+A+A^2+\cdots+A^{2020}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{672}(A^{3k}+A^{3k+1}+A^{3k+2})+A^{2019}+A^{2020}\)
\(=O+E+A\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(A^{3k}+A^{3k+1}+A^{3k+2}=E+A+A^2\)
また、ケーリー・ハミルトンの定理より
\(E+A+A^2=O\)
よって、
\(E+A+A^2+\cdots+A^{2020}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{672}(A^{3k}+A^{3k+1}+A^{3k+2})+A^{2019}+A^{2020}\)
\(=O+E+A\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
4.\(\theta\)を\(\cos\theta\neq1\)を満たす実数とし、回転行列を\(A=R(\theta)\)とおく。
(1)自然数\(n\)に対して\((E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^n)\)を\(\theta\)と\(n\)で表しなさい。
\((E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^n)\)
\(=E-A^{n+1}\)
\(=\begin{pmatrix}1-\cos(n+1)\theta & \sin(n+1)\theta \\ -\sin(n+1)\theta & 1-\cos(n+1)\theta\end{pmatrix}\)
\(=E-A^{n+1}\)
\(=\begin{pmatrix}1-\cos(n+1)\theta & \sin(n+1)\theta \\ -\sin(n+1)\theta & 1-\cos(n+1)\theta\end{pmatrix}\)
(2)\(E-A\)は正則であることを示し、逆行列\((E-A)^{-1}\)を求めなさい。
\(E-A=\begin{pmatrix}1-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix}\)より、
\(\delta(E-A)=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2-2\cos\theta\neq0\)
よって、\(E-A\)は正則で
\(\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{2(1-\cos\theta)}\begin{pmatrix}1-\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix}\)
\(\delta(E-A)=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2-2\cos\theta\neq0\)
よって、\(E-A\)は正則で
\(\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{2(1-\cos\theta)}\begin{pmatrix}1-\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix}\)
(3)自然数\(n\)に対して、次の等式が成り立つことを証明しなさい。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\sin k\theta=\frac{\sin\theta+\sin n\theta-\sin(n+1)\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\sin k\theta=\frac{\sin\theta+\sin n\theta-\sin(n+1)\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
\(E+A+A^2+\cdots+A^n\)
\(=(E-A)^{-1}(E-A^{n+1})\)
\(\displaystyle \frac{1}{2(1-\cos\theta)}\begin{pmatrix}1-\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-\cos(n+1)\theta & \sin(n+1)\theta \\ -\sin(n+1)\theta & 1-\cos(n+1)\theta\end{pmatrix}\)
ここで、両辺の\((2,1)\)成分を着目すると
\(\displaystyle 0+\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin n\theta=\sum_{k=1}^n\sin k\theta\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\sin k\theta\)
\(\displaystyle =\frac{\sin\theta-\sin(n+1)\theta+\sin(n+1)\theta\cos\theta-\cos(n+1)\theta\sin\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
\(\displaystyle =\frac{\sin\theta-\sin(n+1)\theta+\sin n\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
\(=(E-A)^{-1}(E-A^{n+1})\)
\(\displaystyle \frac{1}{2(1-\cos\theta)}\begin{pmatrix}1-\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & 1-\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-\cos(n+1)\theta & \sin(n+1)\theta \\ -\sin(n+1)\theta & 1-\cos(n+1)\theta\end{pmatrix}\)
ここで、両辺の\((2,1)\)成分を着目すると
\(\displaystyle 0+\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin n\theta=\sum_{k=1}^n\sin k\theta\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\sin k\theta\)
\(\displaystyle =\frac{\sin\theta-\sin(n+1)\theta+\sin(n+1)\theta\cos\theta-\cos(n+1)\theta\sin\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
\(\displaystyle =\frac{\sin\theta-\sin(n+1)\theta+\sin n\theta}{2(1-\cos\theta)}\)
次の学習に進もう！