三次式の展開
【乗法公式】
(1)\((a+b)^3\)=\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
(2)\((a-b)^3\)=\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
(3)\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)=\(a^3+b^3\)
(4)\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)=\(a^3-b^3\)
【例題】次の式を展開しなさい。
(1)\((2x+5)^3\)
\(=8x^3+60x^2+150x+125\)
(2)\((x-2y)^3\)
\(=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
(3)\((x+2)(x^2-2x+4)\)
\(=x^3+8\)
(4)\((2a-1)(4a^2+2a+1)\)
\(=8a^3-1\)
三次式の因数分解
【因数分解】
(1)\(a^3+b^3\)=\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
(2)\(a^3-b^3\)=\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)
【例題】次の式を因数分解しなさい。
(1)\(x^3+1\)
\(=(x+1)(x^2-x+1)\)
(2)\(8a^3-27b^3\)
\(=(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)\)
(3)\(x^6-1\)
\(=(x^3+1)(x^3-1)\)
\(=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)\)
\(=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\)
(4)\(x^6-64\)
\(=(x^3+8)(x^3-8)\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)(x-2)(x^2+2x+4)\)
\(=(x+2)(x-2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)\)