1.次の式を展開しなさい。
(1)\((x+1)^4\)
\(={}_{4}\mathrm{C}_0・x^4・1^0+{}_{4}\mathrm{C}_1・x^3・1^1+{}_{4}\mathrm{C}_2・x^2・1^2+{}_{4}\mathrm{C}_3・x^1・1^3+{}_{4}\mathrm{C}_4・x^0・1^4\) \(=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\)
(2)\((x-2)^6\)
\(={}_{6}\mathrm{C}_0・x^6・(-2)^0+{}_{6}\mathrm{C}_1・x^5・(-2)^1+{}_{6}\mathrm{C}_2・x^4・(-2)^2+{}_{6}\mathrm{C}_3・x^3・(-2)^3+{}_{6}\mathrm{C}_4・x^2・(-2)^4+{}_{6}\mathrm{C}_5・x^1・(-2)^5+{}_{6}\mathrm{C}_6・x^0・(-2)^6\) \(=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\)
(3)\((a+b)^4\)
\(={}_{4}\mathrm{C}_0・a^4・b^0+{}_{4}\mathrm{C}_1・a^3・b^1+{}_{4}\mathrm{C}_2・a^2・b^2+{}_{4}\mathrm{C}_3・a^1・b^3+{}_{4}\mathrm{C}_4・a^0・b^4\) \(=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)
(4)\((a+b)^5\)
\(={}_{5}\mathrm{C}_0・a^5・b^0+{}_{5}\mathrm{C}_1・a^4・b^1+{}_{5}\mathrm{C}_2・a^3・b^2+{}_{5}\mathrm{C}_3・a^2・b^3+{}_{5}\mathrm{C}_4・a^1・b^4+{}_{5}\mathrm{C}_5・a^0・b^5\) \(=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)
2.次の式の展開式で[]内に指定された項の係数を答えなさい。
(1)\((2x+3)^4\ \ [x^3]\)
\({}_{4}\mathrm{C}_1・(2x)^3・3^1\)
\(=96x^3\)
よって、\(x^3\)の係数は\(96\)
(2)\((x-2y)^5\ \ [x^2y^3]\)
\({}_{5}\mathrm{C}_3・x^2・(-2y)^3\)
\(=-80x^2y^3\)
よって、\(x^2y^3\)の係数は\(-80\)
(3)\((x-2y)^5\ \ [x^3y^2]\)
\({}_{5}\mathrm{C}_2・x^3・(-2y)^2\)
\(=40x^3y^2\)
よって、\(x^3y^2\)の係数は\(40\)
(4)\((x-3y)^6\ \ [x^2y^4]\)
\({}_{6}\mathrm{C}_4・x^2・(-3y)^4\)
\(=1215x^2y^4\)
よって、\(x^2y^4\)の係数は\(1215\)
(5)\((a+b-2c)^7\ \ [a^2b^2c^3]\)
\(\displaystyle \frac{7!}{2!2!3!}a^2b^2(-2c)^3=-1680a^2b^2c^3\)
よって、\(a^2b^2c^3\)の係数は\(-1680\)
(6)\((a+b+c)^6\ \ [ab^4c]\)
\(\displaystyle \frac{6!}{1!4!1!}ab^4c=30ab^4c\)
よって、\(ab^4c\)の係数は\(30\)
(7)\((a+b+c)^7\ \ [a^4b^3]\)
\(\displaystyle \frac{7!}{4!3!0!}a^4b^3c^0=35a^4b^3\)
よって、\(a^4b^3\)の係数は\(35\)