6-3-2 定積分(要点)

【定積分】

\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(x\)に任意の数を入れて、その差を求める。
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)

これを関数\(f(x)\)の\(a\)から\(b\)までの定積分という。
また、\(a\)を下端、\(b\)を上端という。

【定積分の性質】

(1)\(\displaystyle \int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx\)
(2)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\)
(3)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx\)
(4)\(\displaystyle \int_a^a f(x)dx=0\)
(5)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\)
(6)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)

【例題】次の定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int_1^4 2xdx\)

\(=[x^2]_1^4\)
\(=4^2-1^2\)
\(=15\)

(2)\(\displaystyle \int_{-1}^2(2x^2+3)dx\)

\(\displaystyle =\left[\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{3}x\right]_{-1}^2\)
\(\displaystyle =\left(\frac{2}{3}・2^3+\frac{1}{3}・2\right)-\left(\frac{2}{3}・(-1)^3+\frac{1}{3}・(-1)\right)\)
\(\displaystyle =6-(-1)\)
\(=7\)

(3)\(\displaystyle \int_{-2}^2(4x^2+3x)dx\)

\(\displaystyle =\left[\frac{4}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2\right]_{-2}^2\)
\(\displaystyle =\frac{64}{3}\)

(4)\(\displaystyle \int_{2}^3(kx^2-x)dx\)

\(\displaystyle =\left[\frac{k}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_{2}^3\)
\(\displaystyle =\frac{19}{3}k-\frac{5}{2}\)

(5)\(\displaystyle \int_{1}^2 2xdx+\int_{2}^4 2xdx\)

\(\displaystyle =\int_{1}^4 2xdx\)
\(=[x^2]_{1}^4\)
\(=4^2-1^2\)
\(=15\)

【積分と微分の関係】

\(a\)が定数のとき、
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\)

【例題】次の等式をみたす関数\(f(x)\)と定数\(a\)を求めなさい。
\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt=x^2-5x+6\)

両辺を微分すると、
\(f(x)=2x-5\)
また、\(x=a\)とおくと、左辺は\(0\)になるので、
\(a^2-5a+6=0\)
\((a-2)(a-3)=0\)
\(a=2,3\)