【高校数学Ⅱ】6-3-2 定積分｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅱの「定積分」について整理しています。定積分の基本的な計算方法、積分と微分の関係、面積の求め方をわかりやすく解説し、定期テストや入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。

定積分の基本と計算方法

【定積分】
\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(x\)に任意の数を入れて、その差を求める。
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)
これを関数\(f(x)\)の\(a\)から\(b\)までの定積分という。
また、\(a\)を下端、\(b\)を上端という。

【定積分の性質】
(1)\(\displaystyle \int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx\)
(2)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\)
(3)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx\)
(4)\(\displaystyle \int_a^a f(x)dx=0\)
(5)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\)
(6)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)

【例題】次の定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int_1^4 2xdx\)
(2)\(\displaystyle \int_{-1}^2(2x^2+3)dx\)
(3)\(\displaystyle \int_{-2}^2(4x^2+3x)dx\)
(4)\(\displaystyle \int_{2}^3(kx^2-x)dx\)
(5)\(\displaystyle \int_{1}^2 2xdx+\int_{2}^4 2xdx\)

積分と微分の関係（微積分の基本定理）

【積分と微分の関係】
\(a\)が定数のとき、
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\)

【例題】次の等式をみたす関数\(f(x)\)と定数\(a\)を求めなさい。

\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt=x^2-5x+6\)
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