【高校数学Ⅱ】4-1-2 三角関数の性質｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「三角関数の性質」について要点を整理しています。一般角における三角関数の定義、sin・cos・tanの相互関係、補角・余角・負角に関する公式をわかりやすく解説。定期テストや大学入試対策の基礎固めに役立ちます。
一般角における三角関数の定義
【一般角の三角関数】
\(x\)軸の正の部分を始点とし、角\(\theta\)の動径と原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の円との交点を\(P(x,y)\)とする。
このとき、一般角\(\theta\)を次のように定義する。
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{y}{r}\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{x}{r}\)
\(\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}\)
ただし、\(\tan\theta\)は\(x\neq0\)
これらを\(\theta\)の三角関数という。
【三角関数の値域】
原点を中心とする半径\(1\)の円を単位円という。
単位円の三角関数は、
\(\sin\theta=y\)
\(\cos\theta=x\)
\(\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}\)
単位円における三角関数の値域は、
\(-1\leqq\sin\theta\leqq1\)
\(-1\leqq\cos\theta\leqq1\)
\(\tan\theta\)は全ての実数値
【例題】次の\(\theta\)について、\(\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta\)の値を求めなさい。
\(\displaystyle \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{\pi}{4}=1\)
\(\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)
\(\displaystyle \cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{2}{3}\pi=-\sqrt{3}\)
\(\displaystyle \cos\frac{7}{6}\pi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{7}{6}\pi=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\displaystyle \cos\frac{5}{4}\pi=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{5}{4}\pi=1\)
\(\displaystyle \cos\frac{4}{3}\pi=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \tan\frac{4}{3}\pi=\sqrt{3}\)
三角関数の相互関係（基本公式）
【三角関数の相互関係】
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(\displaystyle 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1-\left(-\frac{2}{3}\right)^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{5}{9}\)
\(\cos\theta<0\)より、
\(\displaystyle \cos\theta=-\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\displaystyle \tan\theta=-\frac{2}{3}÷(-\frac{\sqrt{5}}{3})\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
三角関数の性質（負角・補角・余角の関係）
【\(θ+2n\pi\)の三角関数】
\(\sin(θ+2n\pi)=\sinθ\)
\(\cos(θ+2n\pi)=\cosθ\)
\(\tan(θ+2n\pi)=\tanθ\)
\(n\)は整数とする。
【負角の公式】
\(\sin(-θ)=-\sinθ\)
\(\cos(-θ)=\cosθ\)
\(\tan(-θ)=-\tanθ\)
【補角の公式】
\(\sin(\pi-θ)=\sinθ\)
\(\cos(\pi-θ)=-\cosθ\)
\(\tan(\pi-θ)=-\tanθ\)
【余角の公式】
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-θ\right)=\cosθ\)
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-θ\right)=\sinθ\)
\(\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-θ\right)=\frac{1}{\tanθ}\)
【例題】次の数を計算しなさい。
\(=1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(=\sinθ\cosθ-\sinθ\cosθ\)
\(=0\)
\(\displaystyle =\frac{\cosθ\tanθ}{\sinθ}\)
\(\displaystyle =\frac{\cosθ\sinθ}{\sinθ\cosθ}\)
\(=1\)
\(=\cos^2θ+\sin^2θ\)
\(=1\)
\(\displaystyle =-\frac{\tanθ\cosθ}{\sinθ}\)
\(\displaystyle =-\frac{\sinθ\cosθ}{\cosθ\sinθ}\)
\(=-1\)