指数法則
【指数法則】
\(a\neq0,b\neq0\)で\(m,n\)を整数とする。
(1)\(a^ma^n=a^{m+n}\)
(2)\(\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
(3)\((a^m)^n=a^{mn}\)
(4)\((ab)^n=a^nb^n\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(2x^2×5x^3\)
\(=10x^5\)
(2)\(8a^3b^2÷6a^5b\)
\(\displaystyle =\frac{4b}{3a^2}\)
(3)\((a^2b)^3÷(-ab^3)^2\)
\(\displaystyle =\frac{a^6b^3}{a^2b^6}\)
\(\displaystyle =\frac{a^4}{b^3}\)
0や負の整数の指数
【0や負の整数の指数】
\(a\neq0\)で\(n\)を整数とする。
(1)\(a^0=1\)
(2)\(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(a^{-3}a^5\)
\(=a^2\)
(2)\((a^{-2})^{-3}\)
\(=a^6\)
(3)\((ab^{-1})^2\)
\(=a^2b^{-2}\)
\(\displaystyle =\frac{a^2}{b^2}\)
(4)\(a^{-5}÷a^{-3}\)
\(=a^{-2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}\)
累乗根
【累乗根】
\(n\)乗して\(a\)になる数\(x^n=a\)をみたす\(x\)の値を\(a\)の\(n\)乗根といい、\(\sqrt[n]{a}\)と表す。
また、\(a\)の(2\)乗根、\(a\)の(3\)乗根、・・・を総称して、\(a\)の累乗根という。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\sqrt[3]{27}\)
\(=\sqrt[3]{3^3}\)
\(=3\)
(2)\(\sqrt[5]{0.00001}\)
\(=\sqrt[5]{0.1^5}\)
\(=0.1\)
(3)\(\sqrt[3]{-0.125}\)
\(=\sqrt[3]{(-0.5)^3}\)
\(=-0.5\)
累乗根の性質
【累乗根の性質】
\(a>0,b>0\)で\(m,n,p\)が正の整数とする。
(1)\(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
(2)\(\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
(3)\((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)
(4)\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
(5)\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}\)
\(=\sqrt[3]{8}\)
\(=\sqrt[3]{2^3}\)
\(=2\)
(2)\(\sqrt[4]{243}÷\sqrt[4]{3}\)
\(=\sqrt[4]{81}\)
\(=\sqrt[4]{3^4}\)
\(=3\)
(3)\(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}\)
\(=\sqrt[3]{2^4}+\sqrt[3]{2・3^3}\)
\(=2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}\)
\(=5\sqrt[3]{2}\)
分数の指数
【分数の指数】
\(a>0\)で\(m,n\)が正の整数とする。
(1)\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
(2)\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(2^{\frac{5}{2}}÷2^{\frac{3}{2}}\)
\(=2^1\)
\(=2\)
(2)\((2^{10}×3^{15})^{\frac{1}{5}}\)
\(=2^2×3^3\)
\(=4×27\)
\(=108\)
(3)\(9^{\frac{3}{2}}×9^{\frac{4}{3}}÷9^{\frac{5}{6}}\)
\(=9^2\)
\(=81\)
(4)\(\sqrt[12]{4}÷\sqrt[3]{4}÷\sqrt[4]{4}\)
\(=4^{\frac{1}{12}}÷4^{\frac{1}{3}}÷4^{\frac{1}{4}}\)
\(=4^{\frac{1}{2}}\)
\(=2^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)