【高校数学Ⅱ】5-1-1 指数法則｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「指数法則」について整理しています。指数の基本法則、0や負の指数、累乗根や分数の指数の意味と計算方法を丁寧に解説。指数の性質を理解することで、指数関数や対数の学習の基礎を固めることができます。
指数法則の基本
【指数法則】
\(a\neq0,b\neq0\)で\(m,n\)を整数とする。
(1)\(a^ma^n=a^{m+n}\)
(2)\(\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
(3)\((a^m)^n=a^{mn}\)
(4)\((ab)^n=a^nb^n\)
【例題】次の計算をしなさい。
0の指数と負の指数
【0や負の整数の指数】
\(a\neq0\)で\(n\)を整数とする。
(1)\(a^0=1\)
(2)\(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
【例題】次の計算をしなさい。
累乗根の定義と考え方
【累乗根】
\(n\)乗して\(a\)になる数\(x^n=a\)をみたす\(x\)の値を\(a\)の\(n\)乗根といい、\(\sqrt[n]{a}\)と表す。
また、\(a\)の\(2\)乗根、\(a\)の\(3\)乗根、・・・を総称して、\(a\)の累乗根という。
【例題】次の計算をしなさい。
累乗根の性質と応用
【累乗根の性質】
\(a>0,b>0\)で\(m,n,p\)が正の整数とする。
(1)\(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
(2)\(\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
(3)\((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)
(4)\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
(5)\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)
【例題】次の計算をしなさい。
分数の指数と累乗根の関係
【分数の指数】
\(a>0\)で\(m,n\)が正の整数とする。
(1)\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
(2)\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
【例題】次の計算をしなさい。