【高校数学Ⅱ】3-1-1 直線上の点｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「直線上の点」について要点を整理しています。数直線上の2点間の距離の公式、内分点・外分点の座標の求め方を解説。定期テストや大学入試で頻出の基礎問題を効率的に理解できます。
数直線上の2点間の距離
【線分の長さ】
\(2\)点\(A(a),B(b)\)の間の距離\(AB\)は次のようになる。
\(AB=|b-a|\)
【例題】数直線上に\(3\)点\(A(1),B(-3),C(4)\)がある。次の距離を求めなさい。
(1)\(AB\)
\(AB=|1-(-3)|\)
\(\ \ \ \ \ \ =4\)
\(\ \ \ \ \ \ =4\)
(2)\(AC\)
\(AC=|1-4|\)
\(\ \ \ \ \ \ =3\)
\(\ \ \ \ \ \ =3\)
(3)\(BC\)
\(BC=|-3-4|\)
\(\ \ \ \ \ \ =7\)
\(\ \ \ \ \ \ =7\)
内分点の座標の求め方
【内分点】
\(2\)点\(A(a),B(b)\)を\(m:n\)に内分する点\(x\)は次のようになる。
\(\displaystyle x=\frac{na+mb}{m+n}\)
【例題】\(2\)点\(A(-6),B(4)\)がある。次の点を求めなさい。
(1)線分\(AB\)を\(4:1\)に内分する点\(P\)
\(\displaystyle \frac{1・(-6)+4・4}{4+1}\)
\(\displaystyle =\frac{10}{5}\)
\(=2\)
よって、\(P(2)\)
\(\displaystyle =\frac{10}{5}\)
\(=2\)
よって、\(P(2)\)
(2)線分\(AB\)を\(2:5\)に内分する点\(Q\)
\(\displaystyle \frac{5・(-6)+2・4}{2+5}\)
\(\displaystyle =\frac{-22}{7}\)
よって、\(\displaystyle Q\left(-\frac{22}{7}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{-22}{7}\)
よって、\(\displaystyle Q\left(-\frac{22}{7}\right)\)
(3)線分\(AB\)の中点\(C\)
\(\displaystyle \frac{-6+4}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
よって、\(C(-1)\)
\(\displaystyle =\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
よって、\(C(-1)\)
外分点の座標の求め方
【外分点】
\(2\)点\(A(a),B(b)\)を\(m:n\)に外分する点\(x\)は次のようになる。
\(\displaystyle x=\frac{-na+mb}{m-n}\)
【例題】\(2\)点\(A(-5),B(6)\)がある。次の点を求めなさい。
(1)線分\(AB\)を\(3:1\)に外分する点\(P\)
\(\displaystyle \frac{(-1)・(-5)+3・6}{3-1}\)
\(\displaystyle =\frac{23}{2}\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{23}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{23}{2}\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{23}{2}\right)\)
(2)線分\(AB\)を\(1:3\)に外分する点\(Q\)
\(\displaystyle \frac{(-3)・(-5)+1・6}{1-3}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{-2}\)
よって、\(\displaystyle Q\left(-\frac{21}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{21}{-2}\)
よって、\(\displaystyle Q\left(-\frac{21}{2}\right)\)
(3)線分\(AB\)を\(5:2\)に外分する点\(R\)
\(\displaystyle \frac{(-2)・(-5)+5・6}{5-2}\)
\(\displaystyle =\frac{40}{3}\)
よって、\(\displaystyle R\left(\frac{40}{3}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{40}{3}\)
よって、\(\displaystyle R\left(\frac{40}{3}\right)\)
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