一般角
【一般角】
平面上において、点\(O\)を中心として半直線\(OP\)を回転させるとき、この半直線\(OP\)を動径といい、その最初の位置の半直線\(OX\)を始線という。
回転の向きと大きさを表す量として拡張した角を一般角という。始線\(OX\)から角\(θ\)だけ回転した位置にある動径\(OP\)を\(θ\)の動径という。一般に動径\(OP\)の表す角は
\(α+360°\times n\)
(\(n\)は整数)と表される。
【象限の角】
点\(O\)を原点とする座標平面において、動径\(OP\)が第1象限にある\(θ\)を第1象限の角という。他象限も同様に定める。
【例題】次の角の動径を表す最小の正の角を答えなさい。また、第何象限の角か答えなさい。
(1)\(400°\)
\(400°=40°+360°\times1\)
よって、
\(40°\)で第1象限にある。
(2)\(850°\)
\(850°=130°+360°\times2\)
よって、
\(130°\)で第2象限にある。
(3)\(-600°\)
\(-600°=120°+360°\times(-2)\)
よって、
\(120°\)で第2象限にある。
弧度法
【弧度法】
一つの円において、弧の長さと中心角の大きさは比例する。この事を使って角の大きさを表す弧度法がある。\(180°\)に対する弧の長さは\(\pi\)なので、
\(180°=\pi\)ラジアン
と定義される。
【例題】次の角を弧度法で表しなさい。
(1)\(120°\)
\(\displaystyle 120°\times\frac{\pi}{180}=\frac{2}{3}\pi\)
(2)\(750°\)
\(\displaystyle 750°\times\frac{\pi}{180}=\frac{25}{6}\pi\)
(3)\(-72°\)
\(\displaystyle -72°\times\frac{\pi}{180}=-\frac{2}{5}\pi\)
【例題】次の角を度数法で表しなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{3}{4}\pi\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}\pi\times\frac{180}{\pi}=135°\)
(2)\(\displaystyle \frac{7}{2}\pi\)
\(\displaystyle \frac{7}{2}\pi\times\frac{180}{\pi}=630°\)
(3)\(\displaystyle -\frac{11}{5}\pi\)
\(\displaystyle -\frac{11}{5}\pi\times\frac{180}{\pi}=-396°\)
扇形の弧の長さと面積
【扇形の弧の長さと面積】
半径\(r\)、中心角\(θ\)、扇形の弧の長さ\(l\)、面積\(S\)とすると、
\(l=rθ\)
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}r^2θ=\frac{1}{2}lr\)
【例題】次の扇形の弧の長さ\(l\)と面積\(S\)を求めなさい。
(1)半径\(6\)、中心角\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle l=6\times\frac{\pi}{3}=2\pi\)
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times6^2\times\frac{\pi}{3}=6\pi\)
(2)半径\(10\)、中心角\(\displaystyle \frac{3}{4}\pi\)
\(\displaystyle l=10\times\frac{3}{4}\pi=\frac{15}{2}\pi\)
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times10^2\times\frac{3}{4}\pi=\frac{75}{2}\pi\)