【高校数学Ⅱ】2-1-1 複素数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「複素数」について要点を整理しています。複素数の定義と性質、共役な複素数、複素数の相等、負の実数の平方根までを例題とともに解説。定期テストや入試で重要となる基礎事項を効率よく確認できます。
複素数
【複素数】
平方して\(-1\)になるような数を考えて、これを\(i\)と書き、虚数単位という。
\(i^2=-1\)
\(2\)つの実数\(a,b\)を使って、\(a+bi\)の形で表される数を複素数といい、\(a\)を実部、\(b\)を虚部という。
複素数(\(a+bi\))は、実数(\(a\))と虚数(\(a+bi\))に分類される。また、\(bi\)の形の虚数を純虚数という。
【例題】次の式を計算しなさい。
(1)\((3-2i)+(5+4i)\)
\(=8+2i\)
(2)\((-2+i)+(-5-7i)\)
\(=-7-6i\)
(3)\((2+6i)-(3-5i)\)
\(=-1+11i\)
(4)\((-4-3i)-(-3+i)\)
\(=-1-4i\)
(5)\((2+i)(3+4i)\)
\(=6+8i+3i+4i^2\)
\(=6+8i+3i-4\)
\(=2+11i\)
(6)\((1-2i)(4+3i)\)
\(=4+3i-8i-6i^2\)
\(=4+3i-8i+6\)
\(=10-5i\)
(7)\((2-3i)^2\)
\(=4-12i+9i^2\)
\(=4-12i-9\)
\(=-5-12i\)
共役な複素数
【共役な複素数】
\(2\)つの複素数\(a+bi,a-bi\)を互いに共役な複素数という。
分数の分母に複素数がある場合、共役な複素数を分母と分子にかけて、分母を実数化する。
【例題】次の式を計算しなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{1}{2+i}\)
\(\displaystyle =\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(\displaystyle =\frac{2-i}{4-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2-i}{5}\)
(2)\(\displaystyle \frac{i}{1-i}\)
\(\displaystyle =\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{1+i}{1-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1+i}{2}\)
(3)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\)
\(\displaystyle =\frac{(\sqrt{2}+i)^2}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{2+2\sqrt{2}i+i^2}{2-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\)
複素数の相等
【複素数の相等】
\(a,b,c,d\)が実数のとき、
\(a+bi=c+di\)ならば、\(a=c,b=d\)
【例題】次の等式をみたす実数\(x,y\)を求めなさい。
(1)\((2x-y)+(3x-2y)i=7+4i\)
\(2x-y,3x-2y\)は実数なので、
\(\left\{\begin{array}{l}2x-y=7 \\ 3x-2y=4\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(x=10,y=13\)
(2)\((x+y)+(y+2)i=0\)
\(x+y,y+2\)は実数なので、
\(\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ y+2=0\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(x=2,y=-2\)
負の実数の平方根
【負の実数の平方根】
\(k>0\)のとき、
(1)\(\sqrt{-k}=\sqrt{k}i\)
(2)\(\sqrt{-1}=i\)
【例題】次の式を計算しなさい。
(1)\(\sqrt{-3}\)
\(=\sqrt{3}i\)
(2)\(\sqrt{-27}\)
\(=3\sqrt{3}i\)
(3)\(\sqrt{-4}\)
\(=2i\)
(4)\(-9\)の平方根
\(\pm3i\)
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