2-1-1 複素数(要点)

【例題】次の式を計算しなさい。

(1)\((3-2i)+(5+4i)\)

\(=8+2i\)

(2)\((-2+i)+(-5-7i)\)

\(=-7-6i\)

(3)\((2+6i)-(3-5i)\)

\(=-1+11i\)

(4)\((-4-3i)-(-3+i)\)

\(=-1-4i\)

(5)\((2+i)(3+4i)\)

\(=6+8i+3i+4i^2\)
\(=6+8i+3i-4\)
\(=2+11i\)

(6)\((1-2i)(4+3i)\)

\(=4+3i-8i-6i^2\)
\(=4+3i-8i+6\)
\(=10-5i\)

(7)\((2-3i)^2\)

\(=4-12i+9i^2\)
\(=4-12i-9\)
\(=-5-12i\)

【共役な複素数】

\(2\)つの複素数\(a+bi,a-bi\)を互いに共役な複素数という。
分数の分母に複素数がある場合、共役な複素数を分母と分子にかけて、分母を実数化する。

【例題】次の式を計算しなさい。

(1)\(\displaystyle \frac{1}{2+i}\)

\(\displaystyle =\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(\displaystyle =\frac{2-i}{4-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2-i}{5}\)

(2)\(\displaystyle \frac{i}{1-i}\)

\(\displaystyle =\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{1+i}{1-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1+i}{2}\)

(3)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\)

\(\displaystyle =\frac{(\sqrt{2}+i)^2}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{2+2\sqrt{2}i+i^2}{2-i^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\)

【複素数の相等】

\(a,b,c,d\)が実数のとき、
\(a+bi=c+di\)ならば、\(a=c,b=d\)

【例題】次の等式をみたす実数\(x,y\)を求めなさい。

(1)\((2x-y)+(3x-2y)i=7+4i\)

\(2x-y,3x-2y\)は実数なので、
\(\left\{\begin{array}{l}2x-y=7 \\ 3x-2y=4\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(x=10,y=13\)

(2)\((x+y)+(y+2)i=0\)

\(x+y,y+2\)は実数なので、
\(\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ y+2=0\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(x=2,y=-2\)

【負の実数の平方根】

\(k>0\)のとき、
(1)\(\sqrt{-k}=\sqrt{k}i\)
(2)\(\sqrt{-1}=i\)

【例題】次の式を計算しなさい。

(1)\(\sqrt{-3}\)

\(=\sqrt{3}i\)

(2)\(\sqrt{-27}\)

\(=3\sqrt{3}i\)

(3)\(\sqrt{-4}\)

\(=2i\)

(4)\(-9\)の平方根

\(\pm3i\)