【高校数学Ⅱ】6-2-3 関数の方程式・不等式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「関数の方程式・不等式」について整理しています。三次方程式の実数解の求め方や三次不等式の証明方法をわかりやすく解説し、定期テストや大学入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。
方程式への応用｜三次方程式の実数解の求め方
【例題】次の方程式の実数解の個数を求めなさい。
(1)\(\displaystyle x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1=0\)
\(\displaystyle y=x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1\)とすると、
\(y'=3x^2-x-2\)
\(\ \ \ =(3x+2)(x-1)\)
増減表にまとめると、
\(x\)軸と\(3\)点で交わるので、\(3\)つの実数解を持つ。
\(y'=3x^2-x-2\)
\(\ \ \ =(3x+2)(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{49}{27}\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) | \(\nearrow\) |
\(x\)軸と\(3\)点で交わるので、\(3\)つの実数解を持つ。
(2)\(-x^3+6x^2-12x+6=0\)
\(y=-x^3+6x^2-12x+6\)とすると、
\(y'=-3x^2+12x-12\)
\(\ \ \ =-3(x-2)^2\)
増減表にまとめると、
\(x\)軸と\(1\)点で交わるので、\(1\)つの実数解を持つ。
\(y'=-3x^2+12x-12\)
\(\ \ \ =-3(x-2)^2\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(-2\) | \(\searrow\) |
\(x\)軸と\(1\)点で交わるので、\(1\)つの実数解を持つ。
不等式への応用｜三次不等式の証明と解法ポイント
【例題】\(x\geqq0\)のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。また、等号が成り立つときの\(x\)を求めなさい。
\(x^3+3x^2+5\geqq9x\)
\(x^3+3x^2-9x+5\geqq0\)
\(y=x^3+3x^2-9x+5\)とすると、
\(y'=3x^2+6x-9\)
\(\ \ \ =3(x+3)(x-1)\)
増減表にまとめると、
\(x\geqq0\)の範囲で最小値は\(0\)であるので、
\(x^3+3x^2+5\geqq9x\)が成り立つ。
また、等号が成り立つのは\(x=1\)のときである。
\(y=x^3+3x^2-9x+5\)とすると、
\(y'=3x^2+6x-9\)
\(\ \ \ =3(x+3)(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-3\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(32\) | \(\searrow\) | \(5\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
\(x\geqq0\)の範囲で最小値は\(0\)であるので、
\(x^3+3x^2+5\geqq9x\)が成り立つ。
また、等号が成り立つのは\(x=1\)のときである。
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