【高校数学Ⅱ】2-1-2 二次方程式の解｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「二次方程式の解（2-1-2）」について要点を整理しています。複素数を含む解の扱い、解の公式の使い方、判別式の意味や応用を例題とともに解説。定期テスト・入試対策に重要なポイントを効率的に学習できます。
二次方程式の解き方と解の公式
【二次方程式の解】
二次方程式\(x^2=-k\)(\(k>0\)のとき)の解は
\(x=\pm\sqrt{k}i\)
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は、
\(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
【例題】次の二次方程式を解きなさい。
(1)\(x^2=-5\)
\(x=\pm\sqrt{5}i\)
(2)\(x^2+9=0\)
\(x^2=-9\)
\(x=\pm3i\)
\(x=\pm3i\)
(3)\(x^2+12=0\)
\(x^2=-12\)
\(x=\pm2\sqrt{3}i\)
\(x=\pm2\sqrt{3}i\)
(4)\(x^2+1=0\)
\(x^2=-1\)
\(x=\pm i\)
\(x=\pm i\)
(5)\(5x^2+7x+3=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4・5・3}}{2・5}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-7\pm\sqrt{11}i}{10}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-7\pm\sqrt{11}i}{10}\)
(6)\(2x^2-2\sqrt{3}x+5=0\)
\(\displaystyle x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^2-4・2・5}}{2・2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{28}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{7}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}i}{2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{28}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{7}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}i}{2}\)
判別式による解の種類の判定
方程式の解のうち、実数であるものを実数解といい、虚数であるものを虚数解という。
【二次方程式の判別式】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の判別式を\(D=b^2-4ac\)とする。
(1)\(D>0\)のとき、異なる二つの実数解をもつ。
(2)\(D=0\)のとき、重解をもつ。
(3)\(D<0\)のとき、異なる二つの虚数解をもつ。
【例題】次の二次方程式の解の種類を判別しなさい。
(1)\(2x^2+3x-1=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=3^2-4・2・(-1)=17\)
よって、異なる二つの実数解をもつ。
\(D=3^2-4・2・(-1)=17\)
よって、異なる二つの実数解をもつ。
(2)\(4x^2+4x+1=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=4^2-4・4・1=0\)
よって、重解をもつ。
\(D=4^2-4・4・1=0\)
よって、重解をもつ。
(3)\(3x^2-2x+1=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=(-2)^2-4・3・1=-8\)
よって、異なる二つの虚数解をもつ。
\(D=(-2)^2-4・3・1=-8\)
よって、異なる二つの虚数解をもつ。
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