【高校数学Ⅱ】4-1-4 三角方程式と三角不等式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「三角方程式と三角不等式」について整理しています。三角関数を含む方程式や不等式の基本的な解法、二次式を含む場合の扱い方、三角関数の二次関数の考え方を解説しています。定期テストや大学入試で頻出の重要分野を効率的に復習できます。
三角方程式の基本
【例題】次の方程式を満たす\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。
(1)\(\displaystyle \sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)
(2)\(\displaystyle \sqrt{2}\cos\theta-1=0\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
(3)\(\displaystyle \tan\theta+1=0\)
\(\displaystyle \tan\theta=-1\)
\(\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
(4)\(\displaystyle \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{7\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\)
(5)\(\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\)
三角不等式の考え方とグラフによる解法
【例題】次の不等式を満たす\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。
(1)\(\displaystyle \sin\theta\leqq-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{5\pi}{3}\)
(2)\(\displaystyle \cos\theta>\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle 0\leqq\theta<\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}<\theta<2\pi\)
(3)\(\displaystyle \tan\theta\geqq-1\)
\(\displaystyle 0\leqq\theta<\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\leqq\theta<\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\leqq\theta<2\pi\)
(4)\(\displaystyle \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\geqq\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq\theta+\frac{\pi}{4}\leqq\frac{5\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{7\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\leqq\theta<2\pi\)
(5)\(\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)>\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}<\theta-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{4}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7\pi}{12}\)
二次式を含む三角方程式の解き方
【例題】次の二次方程式を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。
(1)\(2\sin\theta\cos\theta+2\sin\theta-\cos\theta-1=0\)
\(2\sin\theta(\cos\theta+1)-(\cos\theta+1)=0\)
\((2\sin\theta-1)(\cos\theta+1)=0\)
\(2\sin\theta-1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)
\(\cos\theta+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi\)
\((2\sin\theta-1)(\cos\theta+1)=0\)
\(2\sin\theta-1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)
\(\cos\theta+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi\)
(2)\(2\sin^2\theta-3\cos\theta-3=0\)
\(2(1-\cos^2\theta)-3\cos\theta-3=0\)
\(2\cos^2\theta+3\cos\theta+1=0\)
\((2\cos\theta+1)(\cos\theta+1)=0\)
\(2\cos\theta+1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)
\(\cos\theta+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}\)
\(2\cos^2\theta+3\cos\theta+1=0\)
\((2\cos\theta+1)(\cos\theta+1)=0\)
\(2\cos\theta+1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)
\(\cos\theta+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}\)
二次式を含む三角不等式の解法と注意点
【例題】次の二次不等式を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。
(1)\(2\cos^2\theta-\sin\theta-1\geqq0\)
\(2(1-\sin^2\theta)-\sin\theta-1\geqq0\)
\(2\sin^2\theta+\sin\theta-1\leqq0\)
\((2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)\leqq0\)
\(\displaystyle -1\leqq\sin\theta\leqq\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\leqq\theta\leqq2\pi\)
\(2\sin^2\theta+\sin\theta-1\leqq0\)
\((2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)\leqq0\)
\(\displaystyle -1\leqq\sin\theta\leqq\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\leqq\theta\leqq2\pi\)
三角関数を含む二次関数の最大・最小問題
【例題】次の関数の最大値と最小値を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。
(1)\(y=\sin^2\theta+\cos\theta+1\)
\(y=(1-\cos^2\theta)+\cos\theta+1\)
\(\ \ =-\cos^2\theta+\cos\theta+2\)
\(\displaystyle \ \ =-\left(\cos\theta-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(-1\leqq\cos\theta\leqq1\)より、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)
\(\displaystyle \cos\theta=-1\)のとき、最小値\(0\)
\(\theta=\pi\)
よって、
最大値は\(\displaystyle \frac{9}{4}\)(\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)のとき)
最小値は\(0\)(\(\theta=\pi\)のとき)
\(\ \ =-\cos^2\theta+\cos\theta+2\)
\(\displaystyle \ \ =-\left(\cos\theta-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(-1\leqq\cos\theta\leqq1\)より、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)
\(\displaystyle \cos\theta=-1\)のとき、最小値\(0\)
\(\theta=\pi\)
よって、
最大値は\(\displaystyle \frac{9}{4}\)(\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)のとき)
最小値は\(0\)(\(\theta=\pi\)のとき)
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