4-1-4 三角方程式と三角不等式(要点)

【例題】次の方程式を満たす\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。

(1)\(\displaystyle \sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \theta=\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)

(2)\(\displaystyle \sqrt{2}\cos\theta-1=0\)

\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)

(3)\(\displaystyle \tan\theta+1=0\)

\(\displaystyle \tan\theta=-1\)

\(\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)

(4)\(\displaystyle \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{7\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\)

(5)\(\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\)

【例題】次の不等式を満たす\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。

(1)\(\displaystyle \sin\theta\leqq-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{5\pi}{3}\)

(2)\(\displaystyle \cos\theta>\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle 0\leqq\theta<\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}<\theta<2\pi\)

(3)\(\displaystyle \tan\theta\geqq-1\)

\(\displaystyle 0\leqq\theta<\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\leqq\theta<\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\leqq\theta<2\pi\)

(4)\(\displaystyle \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\geqq\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq\theta+\frac{\pi}{4}\leqq\frac{5\pi}{6}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{7\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\leqq\theta<2\pi\)

(5)\(\displaystyle \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)>\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}<\theta-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{4}\)
\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)より、
\(\displaystyle \frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7\pi}{12}\)

【例題】次の二次方程式を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。

(1)\(2\sinθ\cosθ+2\sinθ-\cosθ-1=0\)

\(2\sinθ(\cosθ+1)-(\cosθ+1)=0\)
\((2\sinθ-1)(\cosθ+1)=0\)
\(2\sinθ-1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)
\(\cosθ+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi\)

(2)\(2\sin^2θ-3\cosθ-3=0\)

\(2(1-\cos^2θ)-3\cosθ-3=0\)
\(2\cos^2θ+3\cosθ+1=0\)
\((2\cosθ+1)(\cosθ+1)=0\)
\(2\cosθ+1=0\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)
\(\cosθ+1=0\)より、
\(\theta=\pi\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}\)

【例題】次の二次不等式を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。

(1)\(2\cos^2θ-\sinθ-1\geqq0\)

\(2(1-\sin^2θ)-\sinθ-1\geqq0\)
\(2\sin^2θ+\sinθ-1\leqq0\)
\((2\sinθ-1)(\sinθ+1)\leqq0\)
\(\displaystyle -1\leqq\sinθ\leqq\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\leqq\theta\leqq2\pi\)

【例題】次の関数の最大値と最小値を求めなさい。ただし、\(0\leqq \theta \leqq2\pi\)とする。

(1)\(y=\sin^2θ+\cosθ+1\)

\(y=(1-\cos^2θ)+\cosθ+1\)
\(\ \ =-\cos^2θ+\cosθ+2\)
\(\displaystyle \ \ =-\left(\cosθ-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(-1\leqq\cosθ\leqq1\)より、
\(\displaystyle \cosθ=\frac{1}{2}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)
\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)
\(\displaystyle \cosθ=-1\)のとき、最小値\(0\)
\(θ=\pi\)
よって、
最大値は\(\displaystyle \frac{9}{4}\)(\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)のとき)
最小値は\(0\)(\(θ=\pi\)のとき)