1.次の二次方程式を解きなさい。
(1)\(x^2=-2\)
\(x=\pm\sqrt{2}i\)
(2)\(3x^2+5x+3=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4・3・3}}{2・3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-5\pm\sqrt{11}i}{6}\)
(3)\(3x^2-4x+2=0\)
\(\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4・3・2}}{2・3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4\pm\sqrt{8}i}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4\pm2\sqrt{2}i}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\pm\sqrt{2}i}{3}\)
(4)\(x^2+\sqrt{2}x+1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{(\sqrt{2})^2-4・1・1}}{2・1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i}{2}\)
(5)\(x^2-2\sqrt{3}x+4=0\)
\(\displaystyle x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^2-4・1・4}}{2・1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}i}{2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{3}\pm2i}{2}\)
\(\ \ =\sqrt{3}\pm i\)
(6)\(2x(3-x)=2x+3\)
\(2x^2-4x+3=0\)
\(\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4・2・3}}{2・2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4\pm\sqrt{8}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4\pm2\sqrt{2}i}{4}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\pm\sqrt{2}i}{2}\)
2.次の二次方程式の解の種類を判別しなさい。
(1)\(2x^2-5x+4=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=(-5)^2-4・2・4=-7\)
よって、異なる二つの虚数解をもつ。
(2)\(3x^2-8x-2=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=(-8)^2-4・3・(-2)=88\)
よって、異なる二つの実数解をもつ。
(3)\(4x^2+12x+9=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=12^2-4・4・9=0\)
よって、重解をもつ。
(4)\(-11x^2+12x-4=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=12^2-4・(-11)・(-4)=-32\)
よって、異なる二つの虚数解をもつ。
3.\(m\)を実数の定数とするとき、\(x^2+(m+1)x+1=0\)の解を判別しなさい。
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=(m+1)^2-4・1・1\)
\(\ \ =m^2+2m-3\)
\(\ \ =(m+3)(m-1)\)
・\(D>0\)のとき、
\((m+3)(m-1)>0\)
\(m<-3,1< m\)
・\(D=0\)のとき、
\((m+3)(m-1)=0\)
\(m=-3,1\)
・\(D<0\)のとき、
\((m+3)(m-1)<0\)
\(-3< m<1\)
よって、
\(m<-3,1< m\)のとき、異なる二つの実数解をもつ。
\(m=-3,1\)のとき、重解をもつ。
\(-3< m<1\)のとき、異なる二つの虚数解をもつ。
4.次の二次方程式が重解をもつような定数\(k\)の値とそのときの重解を全て答えなさい。
(1)\(2x^2-2kx+k^2-3k+4=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=(-2k)^2-4・2・(k^2-3k+4)\)
\(\ \ =-4k^2+24k-32\)
\(\ \ =-4(k-2)(k-4)\)
重解をもつことから、\(D=0\)なので、
\(k=2,4\)
よって、
\(k=2\)のとき、重解\(x=1\)
\(k=4\)のとき、重解\(x=2\)
(2)\(x^2+2(k-1)x-k^2+3k+1=0\)
二次方程式の判別式を\(D\)とすると、
\(D=\{2(k-1)\}^2-4・1・(-k^2+3k+1)\)
\(\ \ =8k^2-20k\)
\(\ \ =4k(2k-5)\)
重解をもつことから、\(D=0\)なので、
\(\displaystyle k=0,\frac{5}{2}\)
よって、
\(k=0\)のとき、重解\(x=1\)
\(\displaystyle k=\frac{5}{2}\)のとき、重解\(\displaystyle x=-\frac{3}{2}\)