1.次の方程式の実数解の個数を求めなさい。
(1)\(2x^3-6x+3=0\)
\(y=2x^3-6x+3\)とすると、
\(y'=6x^2-6\)
\(\ \ \ =6(x+1)(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(7\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) |
\(x\)軸と\(3\)点で交わるので、\(3\)つの実数解を持つ。
(2)\(-x^4+4x^3-4x^2=0\)
\(y=-x^4+4x^3-4x^2\)とすると、
\(y'=-4x^3+12x^2-8x\)
\(\ \ \ =-4x(x-1)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) |
\(x\)軸と\(2\)点で交わるので、\(2\)つの実数解を持つ。
2.\(a\)を定数とするとき、次の方程式の実数解の個数を調べなさい。
(1)\(2x^3-3x^2-a=0\)
\(2x^3-3x^2=a\)
\(y=2x^3-3x^2\)とすると、
\(y'=6x^2-6x\)
\(\ \ \ =6x(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) |
よって、
\(-1< a<0\)のとき、実数解\(3\)個
\(a=-1,0\)のとき、実数解\(2\)個
\(a<-1,0< a\)のとき、実数解\(1\)個
(2)\(x^3+3x^2-a=0\)
\(x^3+3x^2=a\)
\(y=x^3+3x^2\)とすると、
\(y'=3x^2+6x\)
\(\ \ \ =3x(x+2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
よって、
\(0< a<4\)のとき、実数解\(3\)個
\(a=0,4\)のとき、実数解\(2\)個
\(a<0,4< a\)のとき、実数解\(1\)個
(3)\(2x^3-6x+a=0\)
\(-2x^3+6x=a\)
\(y=-2x^3+6x\)とすると、
\(y'=-6x^2+6\)
\(\ \ \ =-6(x+1)(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) |
よって、
\(-4< a<4\)のとき、実数解\(3\)個
\(a=\pm4\)のとき、実数解\(2\)個
\(a<-4,4< a\)のとき、実数解\(1\)個
3.\(x\geqq0\)のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。また、等号が成り立つときの\(x\)を求めなさい。
(1)\(x^2(x-1)\geqq4(2x-3)\)
\(x^3-x^2-8x+12\geqq0\)
\(y=x^3-x^2-8x+12\)とすると、
\(y'=3x^2-2x-8\)
\(\ \ \ =(3x+4)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(12\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
\(x\geqq0\)の範囲で最小値は\(0\)であるので、
\(x^2(x-1)\geqq4(2x-3)\)が成り立つ。
また、等号が成り立つのは\(x=2\)のときである。
(2)\(x^3+80\geqq3x(x+8)\)
\(x^3-3x^2-24x+80\geqq0\)
\(y=x^3-3x^2-24x+80\)とすると、
\(y'=3x^2-6x-24\)
\(\ \ \ =3(x+2)(x-4)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(4\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(80\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
\(x\geqq0\)の範囲で最小値は\(0\)であるので、
\(x^3+80\geqq3x(x+8)\)が成り立つ。
また、等号が成り立つのは\(x=4\)のときである。