【高校数学Ⅱ】6-1-3 接線｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「接線」について整理しています。微分を用いて接線の傾きを求める方法や、接線の方程式の立て方をわかりやすく解説し、定期テストや大学入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。
接線の傾きの求め方（微分係数との関係）
【接線の傾き】
関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f'(a)\)はこの関数のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線の傾きである。
【例題】次の関数上の点の傾きを求めなさい。
(1)\(y=2x^2+3x\)上の点\((1,5)\)の傾き
\(y'=4x+3\)
よって、傾きは
\(4・1+3=7\)
よって、傾きは
\(4・1+3=7\)
(2)\(y=x^3+x^2-2\)上の点\((-1,-2)\)の傾き
\(y'=3x^2+2x\)
よって、傾きは
\(3・(-1)^2+2・(-1)=1\)
よって、傾きは
\(3・(-1)^2+2・(-1)=1\)
接線方程式の導き方と求め方
【接線方程式】
関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線方程式は
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)関数\(y=2x^2+3x-4\)上の点\((1,1)\)における接線方程式を求めなさい。
導関数は\(y'=4x+3\)
よって、接線方程式は
\(y-1=(4・1+3)(x-1)\)
\(y=7x-6\)
よって、接線方程式は
\(y-1=(4・1+3)(x-1)\)
\(y=7x-6\)
(2)関数\(y=x^2+3\)のグラフに点\((1,0)\)から引いた接線方程式を求めなさい。
導関数は\(y'=2x\)
接点の座標を\((a,a^2+3)\)とすると、
接線の傾きは\(2a\)となる。
接線方程式は
\(y-(a^2+3)=2a(x-a)\)
\(y=2ax-a^2+3\)
この直線が\((1,0)\)を通るので、
\(0=2a-a^2+3\)
\(a^2-2a-3=0\)
\((a+1)(a-3)=0\)
\(a=-1,3\)
よって、接線方程式は
\(y=-2x+2,y=6x-6\)
接点の座標を\((a,a^2+3)\)とすると、
接線の傾きは\(2a\)となる。
接線方程式は
\(y-(a^2+3)=2a(x-a)\)
\(y=2ax-a^2+3\)
この直線が\((1,0)\)を通るので、
\(0=2a-a^2+3\)
\(a^2-2a-3=0\)
\((a+1)(a-3)=0\)
\(a=-1,3\)
よって、接線方程式は
\(y=-2x+2,y=6x-6\)
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