6-3-3 定積分と面積(要点)

\(x\)軸に囲まれた図形の面積

【\(x\)軸に囲まれた図形の面積】

x a b c S1 S2
\(S_1\)は\(x\)軸より上側にあるので、
\(\displaystyle S_1=\int_a^b f(x)dx\)

\(S_2\)は\(x\)軸より下側にあるので、
\(\displaystyle S_2=-\int_b^c f(x)dx\)

【例題】次の面積を求めなさい。

(1)\(y=-x^2+x+2\)と\(x\)軸で囲まれた面積

(2)\(y=x^2-2x\)と\(x\)軸で囲まれた面積

(3)\(y=x^2-2x\)と\(x\)軸、\(x=0,x=3\)で囲まれた面積

(4)\(y=x^3-6x^2+11x-6\)と\(x\)軸で囲まれた面積

関数に囲まれた図形の面積

【関数に囲まれた図形の面積】

a b c S1 S2 y=f(x) y=g(x)
\(S_1\)は\(y=f(x)\)が上で\(y=g(x)\)が下にあるので、
\(\displaystyle S_1=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx\)

\(S_2\)は\(y=g(x)\)が上で\(y=f(x)\)が下にあるので、
\(\displaystyle S_2=\int_b^c \{g(x)-f(x)\}dx\)

【例題】次の面積を求めなさい。

(1)\(y=x^2+x-5\)と\(y=2x+1\)で囲まれた面積

(2)\(y=x^2+4x-5\)と\(y=-x^2-2x+3\)で囲まれた面積

(3)\(y=x^2\)と\(y=2x+3\)、\(x=-2,x=2\)で囲まれた面積

絶対値を含む関数

【絶対値を含む関数】

・\(y=|x-a|\)
x y O a
(1)\(x\geqq a\)のとき、
\(y=x-a\)
(2)\(x< a\)のとき、
\(y=-x+a\)

・\(y=|(x-a)(x-b)|\)
x y O a b
(1)\(x\leqq a,b\leqq x\)のとき、
\(y=(x-a)(x-b)\)
(2)\(a< x< b\)のとき、
\(y=-(x-a)(x-b)\)

【例題】次の定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int_{1}^5|x-2|dx\)

(2)\(\displaystyle \int_{1}^4|x^2-2x|dx\)

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1章 式と証明

1-1 式と計算

1-2 等式と不等式の証明

2章 複素数と方程式

2-1 複素数と二次方程式

2-2 高次方程式

3章 図形と方程式

3-1 点と直線

3-2 円と直線

3-3 軌跡と領域

4章 三角関数

4-1 三角関数

4-2 加法定理

5章 指数関数と対数関数

5-1 指数関数

5-2 対数関数

6章 微分と積分

6-1 微分係数と導関数

6-2 関数の値の変化

6-3 積分法

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