【高校数学Ⅱ】6-3-3 定積分と面積｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「定積分と面積」について整理しています。x軸や関数に囲まれた図形、絶対値を含む関数の面積の求め方をわかりやすく解説し、定期テストや入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。
x軸に囲まれた図形の面積
【\(x\)軸に囲まれた図形の面積】
\(S_1\)は\(x\)軸より上側にあるので、
\(\displaystyle S_1=\int_a^b f(x)dx\)
\(S_2\)は\(x\)軸より下側にあるので、
\(\displaystyle S_2=-\int_b^c f(x)dx\)
【例題】次の面積を求めなさい。
\(-1\leqq x\leqq2\)において、\(y\geqq0\)なので、
\(\displaystyle S=\int_{-1}^2(-x^2+x+2)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^2\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{9}{2}\)
\(0\leqq x\leqq2\)において、\(y\leqq0\)なので、
\(\displaystyle S=-\int_0^2(x^2-2x)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{3}x^3+x^2\right]_0^2\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{3}-0\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{3}\)
\(0\leqq x\leqq2\)において、\(y\leqq0\)
\(2\leqq x\leqq3\)において、\(y\geqq0\)なので、
\(\displaystyle S=-\int_0^2(x^2-2x)dx+\int_2^3(x^2-2x)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{3}x^3+x^2\right]_0^2+\left[\frac{1}{3}x^3-x^2\right]_2^3\)
\(\displaystyle \ \ =\left(\frac{4}{3}-0\right)+\left(0+\frac{4}{3}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{3}\)
\(1\leqq x\leqq2\)において、\(y\geqq0\)
\(2\leqq x\leqq3\)において、\(y\leqq0\)なので、
\(\displaystyle S=\int_1^2(x^3-6x^2+11x-6)dx\)
\(\displaystyle \ \ \ -\int_2^3(x^3-6x^2+11x-6)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{11}{2}x^2-6x\right]_1^2\)
\(\displaystyle \ \ \ +\left[-\frac{1}{4}x^4+2x^3-\frac{11}{2}x^2+6x\right]_2^3\)
\(\displaystyle \ \ =\left(-2+\frac{9}{4}\right)+\left(\frac{9}{4}-2\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{2}\)
関数に囲まれた図形の面積
【関数に囲まれた図形の面積】
\(S_1\)は\(y=f(x)\)が上で\(y=g(x)\)が下にあるので、
\(\displaystyle S_1=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx\)
\(S_2\)は\(y=g(x)\)が上で\(y=f(x)\)が下にあるので、
\(\displaystyle S_2=\int_b^c \{g(x)-f(x)\}dx\)
【例題】次の面積を求めなさい。
\(x^2+x-5=2x+1\)
\(x^2-x-6=0\)
\((x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2,3\)
\(-2\leqq x\leqq3\)において、\(y=2x+1\)が上なので、
\(\displaystyle S=\int_{-2}^3\{(2x+1)-(x^2+x-5)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ =\int_{-2}^3(-x^2+x+6)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x\right]_{-2}^3\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{27}{2}-\left(-\frac{22}{3}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{125}{6}\)
\(x^2+4x-5=-x^2-2x+3\)
\(2x^2+6x-8=0\)
\((x+4)(x-1)=0\)
\(x=-4,1\)
\(-4\leqq x\leqq1\)において、\(y=-x^2-2x+3\)が上なので、
\(\displaystyle S=\int_{-4}^1\{(-x^2-2x+3)-(x^2+4x-5)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ =\int_{-4}^1(-2x^2-6x+8)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{2}{3}x^3-3x^2+8x\right]_{-4}^1\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{3}-\left(-\frac{112}{3}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{125}{3}\)
\(x^2=2x+3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1,3\)
\(-2\leqq x\leqq-1\)において、\(y=x^2\)が上
\(-1\leqq x\leqq2\)において、\(y=2x+3\)が上なので、
\(\displaystyle S=-\int_{-2}^{-1}\{x^2-(2x+3)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ +\int_{-1}^2\{(2x+3)-x^2\}dx\)
\(\displaystyle \ \ =-\int_{-2}^{-1}(x^2-2x-3)dx\)
\(\displaystyle \ \ \ +\int_{-1}^2(-x^2+2x+3)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[\frac{1}{3}x^3-x^2-3x\right]_{-2}^{-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ +\left[-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x\right]_{-1}^2\)
\(\displaystyle \ \ =\left(\frac{5}{3}+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{22}{3}+\frac{5}{3}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{34}{3}\)
絶対値を含む関数の面積
【絶対値を含む関数】
・\(y=|x-a|\)
(1)\(x\geqq a\)のとき、
\(y=x-a\)
(2)\(x< a\)のとき、
\(y=-x+a\)
・\(y=|(x-a)(x-b)|\)
(1)\(x\leqq a,b\leqq x\)のとき、
\(y=(x-a)(x-b)\)
(2)\(a< x< b\)のとき、
\(y=-(x-a)(x-b)\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
\(x<2\)において、\(y=-x+2\)なので、
\(\displaystyle S=\int_1^2(-x+2)dx+\int_2^5(x-2)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_1^2+\left[\frac{1}{2}x^2-2x\right]_2^5\)
\(\displaystyle \ \ =\left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{5}{2}+2\right)\)
\(\ \ =5\)
\(0< x<2\)において、\(y=-x^2+2x\)なので、
\(\displaystyle S=\int_1^2(-x^2+2x)dx+\int_2^4(x^2-2x)dx\)
\(\displaystyle \ \ =\left[-\frac{1}{3}x^3+x^2\right]_1^2+\left[\frac{1}{3}x^3-x^2\right]_2^4\)
\(\displaystyle \ \ =\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{16}{3}+\frac{4}{3}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{22}{3}\)