【高校数学Ⅱ】5-1-2 指数関数｜問題集

\(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[3]{9}=3^{\frac{2}{3}}\)
\(\sqrt[4]{27}=3^{\frac{3}{4}}\)
底\(3>1\)なので、
\(\sqrt{3}<\sqrt[3]{9}<\sqrt[4]{27}\)

\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{9}}=3^{-\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle \sqrt[5]{\frac{1}{27}}=3^{-\frac{3}{5}}\)
\(1=3^{0}\)
底\(3>1\)なので、
\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{9}}<\sqrt[5]{\frac{1}{27}}<1\)

\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{3}}=3^{-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}=3^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle \sqrt[5]{\frac{1}{9}}=3^{-\frac{2}{5}}\)
底\(3>1\)なので、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}<\sqrt[5]{\frac{1}{9}}<\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[6]{2}}=2^{\frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[5]{4}}=2^{\frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[10]{2}}=2^{\frac{1}{15}}\)
底\(2>1\)なので、
\(\displaystyle \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[10]{2}}<\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[6]{2}}<\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[5]{4}}\)

それぞれを\(12\)乗すると、
\((\sqrt[3]{5})^{12}=5^5=625\)
\((\sqrt[4]{7})^{12}=7^3=343\)
よって、
\(\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{7}\)

それぞれを\(20\)乗すると、
\((\sqrt[4]{3})^{20}=3^5=243\)
\((\sqrt[5]{4})^{20}=4^4=256\)
よって、
\(\sqrt[4]{3}<\sqrt[5]{4}\)

それぞれを\(10\)乗すると、
\((\sqrt{2})^{10}=2^5=32\)
\((\sqrt[5]{6})^{10}=6^2=36\)
よって、
\(\sqrt{2}<\sqrt[5]{6}\)

\(5^{x}=5^{3}\)
\(x=3\)

\(2^{3x}=2^{-(x-4)}\)
\(3x=-(x-4)\)
\(x=1\)

\(3^{\frac{1}{2}x}=3^{2(1-x)}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}x=2(1-x)\)
\(\displaystyle x=\frac{4}{5}\)

\(7^{x+1}=7^{-2}\)
\(x+1=-2\)
\(x=-3\)

\(2^{2(x-1)}=2^{\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle 2(x-1)=\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle x=\frac{7}{4}\)

\(3^x\leqq3^3\)
\(x\leqq3\)

\(2^{x+1}>2^3\)
\(x+1>3\)
\(x>2\)

\(3^{-(2x-1)}>3^{-4}\)
\(-(2x-1)>-4\)
\(\displaystyle x<\frac{5}{2}\)

\(7^{x+1}<7^{-2}\)
\(x+1<-2\)
\(x<-3\)

\(2^{-2x}>2^{-3}\)
\(-2x>-3\)
\(\displaystyle x<\frac{3}{2}\)

\(2^{2(x-1)}\geqq2^{\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle 2(x-1)\geqq\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle x\geqq\frac{7}{4}\)

\(3^{-2x}<3^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle -2x<-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x>\frac{1}{4}\)

\(2^{2x}+2・2^x-3=0\)
\((2^x+3)(2^x-1)=0\)
\(2^x>0\)より、
\(2^x=1\)
\(2^x=2^0\)
\(x=0\)

\(3^{2x}-4・3^x+3=0\)
\((3^x-1)(3^x-3)=0\)
\(3^x=1\)のとき、
\(3^x=3^0\)
\(x=0\)
\(3^x=3\)のとき、
\(3^x=3^1\)
\(x=1\)
よって、
\(x=0,1\)

\(2^{3x}=2^{x+2}\)
\(3x=x+2\)
\(x=1\)

\(3^{2x}+3^x-12>0\)
\((3^x+4)(3^x-3)>0\)
\(3^x>0\)より、
\(3^x>3\)
\(x>1\)

\(3^{2x}-4・3^x+3\leqq0\)
\((3^x-1)(3^x-3)\leqq0\)
\(1\leqq3^x\leqq3\)
\(0\leqq x\leqq1\)

\(y=2^{2x}-2・2^x+2\)
\(y=(2^x-1)^2+1\)
定義域は\(x\leqq2\)より、\(2^x\leqq2^2\)
\(0<2^x\leqq4\)
\(2^x=4\)のとき、最大値\(10\)
\(x=2\)
\(2^x=1\)のとき、最小値\(1\)
\(x=0\)
よって、
最大値は\(10\)(\(x=2\)のとき)
最小値は\(1\)(\(x=0\)のとき)

\(y=-9・3^{2x}+6・3^x\)
\(\displaystyle y=-9\left(3^x-\frac{1}{3}\right)^2+1\)
定義域は\(x\leqq0\)より、\(3^x\leqq3^0\)
\(0<3^x\leqq1\)
\(\displaystyle 3^x=\frac{1}{3}\)のとき、最大値\(1\)
\(x=-1\)
\(3^x=1\)のとき、最小値\(-3\)
\(x=0\)
よって、
最大値は\(1\)(\(x=-1\)のとき)
最小値は\(-3\)(\(x=0\)のとき)