【高校数学Ⅱ】5-2-3 常用対数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「常用対数」について整理しています。常用対数の定義と性質、整数や小数との関係、常用対数を利用した桁数の求め方をわかりやすくまとめています。定期テストや入試対策にも役立つ内容です。
常用対数の定義と基本性質
【常用対数と自然数】
\(10\)を底とする対数を常用対数という。
自然数\(N\)が\(k\)桁のとき、
\(10^{k-1}\leqq N<10^k\)
\(k-1\leqq \log_{10}N< k\)
【例題】\(3^{15}\)は何桁の数か求めなさい。ただし、\(\log_{10}3=0.4771\)とする。
\(\log_{10}3^{15}\)
\(=15\log_{10}3\)
\(=15×0.4771\)
\(=7.1565\)
\(10^7<3^{15}<10^8\)なので、
\(3^{15}\)は\(8\)桁の数
\(=15\log_{10}3\)
\(=15×0.4771\)
\(=7.1565\)
\(10^7<3^{15}<10^8\)なので、
\(3^{15}\)は\(8\)桁の数
常用対数と整数・小数の関係
【常用対数と小数】
小数\(N\)が小数第\(k\)位で初めて\(0\)でない数字が現れるとき、
\(10^{-k}\leqq N<10^{-k+1}\)
\(-k\leqq \log_{10}N< -k+1\)
【例題】\(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{50}\)は小数第何位で初めて\(0\)でない数字が現れるか求めなさい。ただし、\(\log_{10}2=0.3010\)とする。
\(\displaystyle \log_{10}\left(\frac{4}{5}\right)^{50}\)
\(\displaystyle =50\log_{10}\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle =50\log_{10}\frac{8}{10}\)
\(=50(\log_{10}8-\log_{10}10)\)
\(=50(3\log_{10}2-1)\)
\(=50(3×0.3010-1)\)
\(=-4.85\)
\(\displaystyle 10^{-5}<\left(\frac{4}{5}\right)^{50}<10^{-4}\)なので、
\(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{50}\)は小数第\(5\)位で\(0\)でない数字が現れる。
\(\displaystyle =50\log_{10}\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle =50\log_{10}\frac{8}{10}\)
\(=50(\log_{10}8-\log_{10}10)\)
\(=50(3\log_{10}2-1)\)
\(=50(3×0.3010-1)\)
\(=-4.85\)
\(\displaystyle 10^{-5}<\left(\frac{4}{5}\right)^{50}<10^{-4}\)なので、
\(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{50}\)は小数第\(5\)位で\(0\)でない数字が現れる。
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