不等式の表す領域
直線と領域
【直線と領域】
(1)不等式\(y>ax+b\)の表す領域は
直線\(y=ax+b\)の上側
(2)不等式\(y< ax+b\)の表す領域は
直線\(y=ax+b\)の下側
【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\(y>x+2\)
境界は含まない。
(2)\(y\leqq2x-3\)
境界は含む。
(3)\(x<3\)
境界は含まない。
円と領域
【円と領域】
(1)不等式\((x-a)^2+(y-b)^2< r^2\)の表す領域は
円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)の内部
(2)不等式\((x-a)^2+(y-b)^2>r^2\)の表す領域は
円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)の外部
【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2\leqq4\)
境界は含む。
(2)\((x-1)^2+(y+3)^2>9\)
境界は含まない。
放物線と領域
【放物線と領域】
(1)不等式\(y> a^2+bx+c\)の表す領域は
放物線\(y=a^2+bx+c\)の上側
(2)不等式\(y< a^2+bx+c\)の表す領域は
放物線\(y=a^2+bx+c\)の下側
【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\(y< -x^2+2x\)
境界は含まない。
連立不等式の表す領域
【例題】次の連立不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\begin{cases}y>x-1 \\ y>-3x+2 \end{cases}
境界は含まない。
(2)\begin{cases}x^2+y^2<9 \\ y<2x+1 \end{cases}
境界は含まない。
(3)\((x+y)(2x-y+4)<0\)
与えられた不等式は
\begin{cases}x+y<0 \\ 2x-y+4>0 \end{cases}
または
\begin{cases}x+y>0 \\ 2x-y+4<0 \end{cases}
のときなので、
境界は含まない。
領域の最大値・最小値
【例題】\(x,y\)が\(4\)つの不等式\(x\geqq0,y\geqq0,x+3y\leqq9,2x+y\leqq8\)を同時に満たすとき、\(x+y\)の最大値と最小値を求めなさい。
\(x+3y\leqq9\)を変形すると、\(\displaystyle y\leqq-\frac{1}{3}x+3\)
\(2x+y\leqq8\)を変形すると、\(y\leqq-2x+8\)
\(4\)点\((0,0),(0,3),(3,2),(4,0)\)を頂点とする四角形が領域となる。
よって、\(x+y\)は
\(x=3,y=2\)のとき、最大値\(5\)
\(x=0,y=0\)のとき、最小値\(0\)