直線や円を境界とする領域はどう表されますか？

直線や円を使って不等式を立て、その不等式を満たす点の集合として表されます。例えば x^2 + y^2 < 4 は、原点を中心とする半径2の円とその内部の領域を意味します。

連立不等式の表す領域とは？

連立不等式の表す領域は、それぞれの不等式が示す領域の共通部分です。例えば x > 0 かつ y > 0 なら、座標平面の第1象限が領域となります。

関数を領域内で評価し、境界や頂点での値を調べて比較します。特に直線や円の境界に沿って値を調べるのが重要です。

連立不等式の表す領域は、それぞれの不等式が示す領域の共通部分です。例えば x > 0 かつ y > 0 なら、座標平面の第1象限が領域となります。

このページでは、高校数学Ⅱ「不等式と領域」の要点を整理しています。直線・円・放物線を境界とする領域の表し方や、連立不等式による領域、さらに領域内での最大値・最小値の求め方を解説します。

【不等式の表す領域】
不等式を満たす点の集合を、その不等式の表す領域という。

【直線と領域】
(1)不等式\(y>ax+b\)の表す領域は直線\(y=ax+b\)の上側

(2)不等式\(y< ax+b\)の表す領域は直線\(y=ax+b\)の下側

【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。

(1)\(y>x+2\)

(2)\(y\leqq2x-3\)

(3)\(x<3\)

【円と領域】
(1)不等式\((x-a)^2+(y-b)^2< r^2\)の表す領域は円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)の内部

(2)不等式\((x-a)^2+(y-b)^2>r^2\)の表す領域は円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)の外部

【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。

(1)\(x^2+y^2\leqq4\)

(2)\((x-1)^2+(y+3)^2>9\)

【放物線と領域】
(1)不等式\(y> ax^2+bx+c\)の表す領域は放物線\(y=ax^2+bx+c\)の上側

(2)不等式\(y< ax^2+bx+c\)の表す領域は
放物線\(y=ax^2+bx+c\)の下側

【例題】次の不等式の表す領域を求めなさい。

(1)\(y< -x^2+2x\)

【例題】次の連立不等式の表す領域を求めなさい。

(1)\(\left\{\begin{array}{l}y>x-1 \\ y>-3x+2\end{array}\right.\)

(2)\(\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2<9 \\ y<2x+1\end{array}\right.\)

(3)\((x+y)(2x-y+4)<0\)

【例題】\(x,y\)が\(4\)つの不等式\(x\geqq0,y\geqq0,x+3y\leqq9,2x+y\leqq8\)を同時に満たすとき、\(x+y\)の最大値と最小値を求めなさい。

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