【高校数学Ⅱ】5-1-2 指数関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「指数関数」について要点を整理しています。指数関数のグラフの特徴、指数の大小比較、指数方程式・不等式の解法、指数関数を含む二次関数の扱い方をわかりやすく解説。定期テストや大学入試で頻出の内容を効率よく確認できます。
指数関数の基本とグラフの特徴
【指数関数のグラフ】
\(y=a^x\)のグラフを指数関数といい、\(a\)を底という。
・\(a>1\)のとき
・\(0< a<1\)のとき
【例題】次のグラフを描きなさい。
(1)\(y=2^x\)
(2)\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
指数の大小関係と比較の方法
【指数の大小比較】
(1)\(a>1\)のとき、
\(p< q\)ならば、\(a^p< a^q\)
(2)\(0< a<1\)のとき、
\(p< q\)ならば、\(a^p> a^q\)
【例題】次の\(3\)つの数の大小を不等号を用いて表しなさい。
\(\sqrt[4]{4},\sqrt[5]{8},\sqrt[3]{2}\)
\(\sqrt[4]{4}=2^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[5]{8}=2^{\frac{3}{5}}\)
\(\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\)
底\(2>1\)なので、
\(\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{4}<\sqrt[5]{8}\)
\(\sqrt[5]{8}=2^{\frac{3}{5}}\)
\(\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\)
底\(2>1\)なので、
\(\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{4}<\sqrt[5]{8}\)
指数方程式と指数不等式の解き方
【例題】次の式を解きなさい。
(1)\(4^x=2^{x+1}\)
\(2^{2x}=2^{x+1}\)
\(2x=x+1\)
\(x=1\)
\(2x=x+1\)
\(x=1\)
(2)\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}<\left(\frac{1}{4}\right)^x\)
\(2^{-(x+1)}<2^{-2x}\)
\(-(x+1)<-2x\)
\(x<1\)
\(-(x+1)<-2x\)
\(x<1\)
(3)\(9^x-8・3^x-9=0\)
\(3^{2x}-8・3^x-9=0\)
\((3^x+1)(3^x-9)=0\)
\(3^x>0\)より、
\(3^x=9\)
\(3^x=3^2\)
\(x=2\)
\((3^x+1)(3^x-9)=0\)
\(3^x>0\)より、
\(3^x=9\)
\(3^x=3^2\)
\(x=2\)
(4)\(4^x-3・2^x-4>0\)
\(2^{2x}-3・2^x-4>0\)
\((2^x+1)(2^x-4)>0\)
\(2^x>0\)より、
\(2^x-4>0\)
\(x>2\)
\((2^x+1)(2^x-4)>0\)
\(2^x>0\)より、
\(2^x-4>0\)
\(x>2\)
指数関数を含む二次関数の考え方
【例題】次の関数の最大値と最小値を求めなさい。
\(y=3^{2x}-2・3^x+4\ \ (-1\leqq x\leqq1)\)
\(y=(3^x-1)^2+3\)
定義域は\(-1\leqq x\leqq1\)より、\(\displaystyle \frac{1}{3}\leqq3^x\leqq3\)
\(3^x=3\)のとき、最大値\(7\)
\(x=1\)
\(3^x=1\)のとき、最小値\(3\)
\(x=0\)
よって、
最大値は\(7\)(\(x=1\)のとき)
最小値は\(3\)(\(x=0\)のとき)
定義域は\(-1\leqq x\leqq1\)より、\(\displaystyle \frac{1}{3}\leqq3^x\leqq3\)
\(3^x=3\)のとき、最大値\(7\)
\(x=1\)
\(3^x=1\)のとき、最小値\(3\)
\(x=0\)
よって、
最大値は\(7\)(\(x=1\)のとき)
最小値は\(3\)(\(x=0\)のとき)
次の学習に進もう！