【高校数学Ⅱ】5-2-3 常用対数｜問題集
1.次の数は何桁か答えなさい。ただし、\(\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771\)とする。
(1)\(2^{20}\)
\(\log_{10}2^{20}\)
\(=20\log_{10}2\)
\(=20×0.3010\)
\(=6.02\)
\(10^6<2^{20}<10^7\)なので、
\(2^{20}\)は\(7\)桁の数
(2)\(15^{15}\)
\(\log_{10}15^{15}\)
\(=15\log_{10}15\)
\(=15(\log_{10}3+\log_{10}5)\)
\(\displaystyle =15\left(\log_{10}3+\frac{\log_{10}10}{\log_{10}2}\right)\)
\(=15(\log_{10}3+1-\log_{10}2)\)
\(=15×(0.4771+1-0.3010)\)
\(=17.64\)
\(10^{17}<15^{15}<10^{18}\)なので、
\(15^{15}\)は\(18\)桁の数
(3)\(5^{20}\)
\(\log_{10}5^{20}\)
\(=20\log_{10}5\)
\(\displaystyle =20\log_{10}\frac{10}{2}\)
\(=20(\log_{10}10-\log_{10}2)\)
\(=20×(1-0.3010)\)
\(=13.98\)
\(10^{13}<5^{20}<10^{14}\)なので、
\(5^{20}\)は\(14\)桁の数
2.次の数は小数第何位で初めて\(0\)でない数字が現れるか答えなさい。ただし、\(\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771\)とする。
(1)\(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{100}\)
\(\displaystyle \log_{10}\left(\frac{4}{5}\right)^{100}\)
\(\displaystyle =100\log_{10}\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle =100\log_{10}\frac{8}{10}\)
\(=100(\log_{10}8-\log_{10}10)\)
\(=100(3\log_{10}2-1)\)
\(=100(3×0.3010-1)\)
\(=-9.7\)
\(\displaystyle 10^{-10}<\left(\frac{4}{5}\right)^{100}<10^{-9}\)なので、
\(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{100}\)は小数第\(10\)位で\(0\)でない数字が現れる。
(2)\(0.75^{100}\)
\(\displaystyle \log_{10}0.75^{100}\)
\(\displaystyle =100\log_{10}\frac{3}{4}\)
\(=100(\log_{10}3-\log_{10}4)\)
\(=100(\log_{10}3-2\log_{10}2)\)
\(=100(0.4771-2×0.3010)\)
\(=-12.49\)
\(\displaystyle 10^{-13}<0.75^{100}<10^{-12}\)なので、
\(\displaystyle 0.75^{100}\)は小数第\(13\)位で\(0\)でない数字が現れる。
(3)\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{25}\)
\(\displaystyle \log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)^{25}\)
\(\displaystyle =25\log_{10}\frac{1}{4}\)
\(=25\log_{10}2^{-2}\)
\(=-50×0.3010\)
\(=-15.05\)
\(\displaystyle 10^{-16}<\left(\frac{1}{4}\right)^{25}<10^{-15}\)なので、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{25}\)は小数第\(16\)位で\(0\)でない数字が現れる。
3.\(N=12^{30}\)のとき、次の問いに答えなさい。ただし、\(\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771\)とする。
(1)\(N\)の整数は何桁か答えなさい。
\(\log_{10}12^{30}\)
\(=30\log_{10}12\)
\(=30(\log_{10}2^2+\log_{10}3)\)
\(=30(2\log_{10}2+\log_{10}3)\)
\(=30(2×0.3010+0.4771\)
\(=32.373\)
\(10^{32}<12^{30}<10^{33}\)なので、
\(12^{30}\)は\(33\)桁の数
(2)\(N\)の最高位の数を答えなさい。
\(\log_{10}12^{30}=32.373\)
つまり、
\(32+\log_{10}2\leqq\log_{10}12^{30}\leqq32+\log_{10}3\)
\(2×10^{32}\leqq12^{30}\leqq3×10^{32}\)
よって、
\(12^{30}\)の最高位は\(2\)
(3)\(N\)の一の位の数を答えなさい。
\(12\)を\(n\)乗したとき、一の位は
\(2,4,8,6,2,4,・・・\)
となり、\(2,4,8,6\)を繰り返す。
よって、
\(12^{30}\)の一の位は\(4\)となる。
4.\(N=6^{20}\)のとき、次の問いに答えなさい。ただし、\(\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771\)とする。
(1)\(N\)の整数は何桁か答えなさい。
\(\log_{10}6^{20}\)
\(=20\log_{10}6\)
\(=20(\log_{10}2+\log_{10}3)\)
\(=20(0.3010+0.4771\)
\(=15.562\)
\(10^{15}<6^{20}<10^{16}\)なので、
\(6^{20}\)は\(16\)桁の数
(2)\(N\)の最高位の数を答えなさい。
\(\log_{10}6^{20}=15.562\)
つまり、
\(15+\log_{10}3\leqq\log_{10}6^{20}\leqq15+\log_{10}4\)
\(15+\log_{10}3\leqq\log_{10}6^{20}\leqq15+2\log_{10}2\)
\(3×10^{15}\leqq6^{20}\leqq4×10^{15}\)
よって、
\(6^{20}\)の最高位は\(3\)
(3)\(N\)の一の位の数を答えなさい。
\(6\)を\(n\)乗したとき、一の位は
\(6,6,6,・・・\)
となり、\(6\)を繰り返す。
よって、
\(6^{20}\)の一の位は\(6\)となる。
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