【高校数学Ⅱ】3-2-3 2つの円｜問題集

\(2\)つの円の中心点\((0,0),(-4,3)\)の距離\(d\)は
\(d=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=5\)
\(2\)つの円が共有点を持つので、
(1)外接するとき、
\(5=r+2\)より、\(r=3\)
(2)\(2\)点が交わるとき、
\(r-2< 5< r+2\)より、\(3< r<7\)
(3)内接するとき、
\(5=r-2\)より、\(r=7\)
(1)、(2)、(3)より
\(3\leqq r\leqq7\)

\(2\)つの円の中心点\((0,0),(2,3)\)の距離\(d\)は
\(d=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}\)
\(2\)つの円が共有点を持たないので、
(1)外部にあるとき、
\(\sqrt{13}>r+1\)より、\(r<\sqrt{13}-1\)
(2)内部にあるとき、
\(\sqrt{13}< r-1\)より、\(r>\sqrt{13}+1\)
(1)、(2)より
\(0< r< \sqrt{13}-1,\sqrt{13}+1< r\)

\(2\)つの円の中心点\((0,0),(2,-1)\)の距離\(d\)は
\(d=\sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{5}\)
\(2\)つの円が内接するので、
\(2\sqrt{5}=r+\sqrt{5}\)
\(r=\sqrt{5}\)
よって、
\((x-2)^2+(x+1)^2=5\)

\(x^2+y^2=10\)をもう一方の円の方程式に代入。
\(10-2x-y-5=0\)
\(y=-2x+5\)
この式を\(x^2+y^2=10\)に代入する。
\(x^2+(-2x+5)^2=10\)
\(x^2-4x+3=0\)
\((x-1)(x-3)=0\)
\(x=1,3\)
\(x=1\)のとき、\(y=3\)
\(x=3\)のとき、\(y=-1\)
よって、
\((1,3),(3,-1)\)

\(k(x^2+y^2-4)+(x^2+y^2+4x-2y+4)=0\)
直線の方程式は\(k=-1\)のときなので、
\(-x^2-y^2+4+x^2+y^2+4x-2y+4=0\)
\(2x-y+4=0\)

\(k(x^2+y^2-4)+(x^2+y^2+4x-2y+4)=0\)
点\((0,0)\)を通るので、
\(k(0^2+0^2-4)+(0^2+0^2+4・0-2・0+4)=0\)
\(-4k+4=0\)
\(k=1\)
円の方程式は\(k=1\)のときなので、
\(x^2+y^2-4+x^2+y^2+4x-2y+4=0\)
\(x^2+y^2+2x-y=0\)