【高校数学Ⅱ】3-1-2 平面上の点｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「平面上の点」について要点を整理しています。座標平面上の2点間の距離、内分点・外分点、三角形の重心の求め方を解説。定期テストや大学入試で頻出の基礎問題を効率的に理解できます。
線分の長さの求め方｜2点間距離の公式と計算例
【線分の長さ】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)の間の距離\(AB\)は次のようになる。
\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
【例題】次の\(2\)点間の距離を求めなさい。
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5^2+2^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{29}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5^2+(-5)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{50}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\sqrt{2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{2^2+0^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{4}\)
\(\ \ \ \ \ \ =2\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{40}\)
\(\ \ \ \ \ \ =2\sqrt{10}\)
内分点の座標計算｜比を使った求め方を図解
【内分点】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に内分する点\(P\)は次のようになる。
\(\displaystyle P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
【例題】\(2\)点\(A(1,2),B(3,4)\)がある。次の点を求めなさい。
\(\displaystyle =\left(\frac{21}{11},\frac{32}{11}\right)\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{21}{11},\frac{32}{11}\right)\)
外分点の座標計算｜延長線上の点の公式と解き方
【外分点】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に外分する点\(P\)は次のようになる。
\(\displaystyle P\left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\)
【例題】\(2\)点\(A(1,2),B(3,4)\)がある。次の点を求めなさい。
\(\displaystyle =\left(\frac{13}{3},\frac{16}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{13}{3},\frac{16}{3}\right)\)
重心の求め方｜三角形の頂点から座標を計算する方法
【重心】
\(3\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G\)は次のようになる。
\(\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)
【例題】次の\(3\)点\(A,B,C\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G\)を求めなさい。
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3},1\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(\frac{1}{3},1\right)\)
\(\displaystyle =\left(1,-\frac{2}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(1,-\frac{2}{3}\right)\)