線分の長さ
【線分の長さ】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)の間の距離\(AB\)は次のようになる。
\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
【例題】次の\(2\)点間の距離を求めなさい。
(1)\(A(3,4),B(8,6)\)
\(AB=\sqrt{(8-3)^2+(6-4)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5^2+2^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{29}\)
(2)\(A(-3,4),B(2,-1)\)
\(AB=\sqrt{(2-(-3))^2+((-1)-4)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5^2+(-5)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{50}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\sqrt{2}\)
(3)\(A(6,-2),B(4,-2)\)
\(AB=\sqrt{(6-4)^2+((-2)-(-2))^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{2^2+0^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{4}\)
\(\ \ \ \ \ \ =2\)
(4)\(A(0,0),B(2,6)\)
\(AB=\sqrt{2^2+6^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{40}\)
\(\ \ \ \ \ \ =2\sqrt{10}\)
内分点
【内分点】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に内分する点\(P\)は次のようになる。
\(\displaystyle P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
【例題】\(2\)点\(A(1,2),B(3,4)\)がある。次の点を求めなさい。
(1)線分\(AB\)を\(5:6\)に内分する点\(P\)
\(\displaystyle \left(\frac{6・1+5・3}{5+6},\frac{6・2+5・4}{5+6}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{21}{11},\frac{32}{11}\right)\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{21}{11},\frac{32}{11}\right)\)
外分点
【外分点】
\(2\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に外分する点\(P\)は次のようになる。
\(\displaystyle P\left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\)
【例題】\(2\)点\(A(1,2),B(3,4)\)がある。次の点を求めなさい。
(1)線分\(AB\)を\(5:2\)に外分する点\(P\)
\(\displaystyle \left(\frac{-2・1+5・3}{5-2},\frac{-2・2+5・4}{5-2}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{13}{3},\frac{16}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle P\left(\frac{13}{3},\frac{16}{3}\right)\)
重心
【重心】
\(3\)点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G\)は次のようになる。
\(\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)
【例題】次の\(3\)点\(A,B,C\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G\)を求めなさい。
(1)\(A(2,3),B(1,-1),C(-2,1)\)
\(\displaystyle \left(\frac{2+1+(-2)}{3},\frac{3+(-1)+1}{3}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3},1\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(\frac{1}{3},1\right)\)
(2)\(A(1,4),B(-1,-2),C(3,-4)\)
\(\displaystyle \left(\frac{1+(-1)+3}{3},\frac{4+(-2)+(-4)}{3}\right)\)
\(\displaystyle =\left(1,-\frac{2}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(1,-\frac{2}{3}\right)\)