1.次の不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\(3x+y+2\leqq0\)
境界は含む。
(2)\(3x-2y+6>0\)
境界は含まない。
(3)\(y>2\)
境界は含まない。
(4)\((x-2)^2+y^2\leqq4\)
境界は含む。
(5)\((x+2)^2+y^2\geqq4\)
境界は含む。
(6)\(y>x^2-2x\)
境界は含まない。
2.次の連立不等式の表す領域を求めなさい。
(1)\begin{cases}x+y-3\leqq0 \\ 4x-y-2\leqq0 \end{cases}
境界は含まない。
(2)\begin{cases}(x+1)^2+y^2\geqq1 \\ x+2y+2\geqq0 \end{cases}
境界は含む。
(3)\begin{cases}y\geqq x+2 \\ y\leqq x^2 \end{cases}
境界は含む。
(4)\(1\leqq x^2+y^2\leqq 4\)
境界は含む。
(5)\((x+y)(x-y+1)>0\)
\begin{cases}x+y>0 \\ x-y+1>0 \end{cases}
または
\begin{cases}x+y<0 \\ x-y+1<0 \end{cases}
のときなので、
境界は含まない。
(6)\((x^2+y^2-4)(x-y)<0\)
\begin{cases}x^2+y^2-4<0 \\ x-y>0 \end{cases}
または
\begin{cases}x^2+y^2-4>0 \\ x-y<0 \end{cases}
のときなので、
境界は含まない。
(7)\((x-y+6)(y-x^2)<0\)
\begin{cases}x-y+6<0 \\ y-x^2>0 \end{cases}
または
\begin{cases}x-y+6>0 \\ y-x^2<0 \end{cases}
のときなので、
境界は含まない。
3.\(x,y\)が\(4\)つの不等式\(x\geqq0,y\geqq0,x+3y\leqq5,3x+2y\leqq8\)を同時に満たすとき、次の式の最大値と最小値を求めなさい。
(1)\(x+y\)
\(x+3y\leqq5\)を変形すると、\(\displaystyle y\leqq-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
\(3x+2y\leqq8\)を変形すると、\(\displaystyle y\leqq-\frac{3}{2}x+4\)
\(4\)点\(\displaystyle (0,0),\left(0,\frac{5}{3}\right),(2,1),\left(\frac{8}{3},0\right)\)を頂点とする四角形が領域となる。
よって、\(x+y\)は
\(x=2,y=1\)のとき、最大値\(3\)
\(x=0,y=0\)のとき、最小値\(0\)
(2)\(x-y\)
\(x+3y\leqq5\)を変形すると、\(\displaystyle y\leqq-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
\(3x+2y\leqq8\)を変形すると、\(\displaystyle y\leqq-\frac{3}{2}x+4\)
\(4\)点\(\displaystyle (0,0),\left(0,\frac{5}{3}\right),(2,1),\left(\frac{8}{3},0\right)\)を頂点とする四角形が領域となる。
よって、\(x-y\)は
\(\displaystyle x=\frac{8}{3},y=0\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
\(\displaystyle x=0,y=\frac{5}{3}\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{5}{3}\)
4.\(x,y\)が\(3\)つの不等式\(4x-y-2\geqq0,2x+y-7\leqq0,x+2y-5\geqq0\)を同時に満たすとき、次の式の最大値と最小値を求めなさい。
(1)\(x+y\)
\(4x-y-2\geqq0\)を変形すると、\(y\leqq4x-2\)
\(2x+y-7\leqq0\)を変形すると、\(y\leqq-2x+7\)
\(x+2y-5\geqq0\)を変形すると、\(\displaystyle y\geqq-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
\(3\)点\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},4\right),(3,1),(1,2)\)を頂点とする三角形が領域となる。
よって、\(x+y\)は
\(\displaystyle x=\frac{3}{2},y=4\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{11}{2}\)
\(x=1,y=2\)のとき、最小値\(3\)
(2)\((x-2)^2+y^2\)
\(4x-y-2\geqq0\)を変形すると、\(y\leqq4x-2\)
\(2x+y-7\leqq0\)を変形すると、\(y\leqq-2x+7\)
\(x+2y-5\geqq0\)を変形すると、\(\displaystyle y\geqq-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
\(3\)点\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},4\right),(3,1),(1,2)\)を頂点とする三角形が領域となる。
\((x-2)^2+y^2\)は中心\((2,0)\)からの距離で決まるので、
最大値は\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},4\right)\)を通るときで、
最小値は\(x+2y-5=0\)に接する点を通るときとなる。
よって、\(x+y\)は
\(\displaystyle x=\frac{3}{2},y=4\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{65}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{13}{5},y=\frac{6}{5}\)のとき、最小値\(\displaystyle \frac{9}{5}\)