【高校数学Ⅱ】6-2-2 関数の最大・最小｜問題集

\(y'=3x^2+6x\)
\(\ \ \ =3x(x+2)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(-3\)	\(\cdots\)	\(-2\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(2\)
\(y'\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(4\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(20\)

よって、
\(x=2\)のとき、最大値\(20\)
\(x=-3,0\)のとき、最小値\(0\)

\(y'=-6x^2+6x+12\)
\(\ \ \ =-6(x+1)(x-2)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(-2\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(1\)
\(y'\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(-10\)	\(\nearrow\)	\(10\)

よって、
\(x=1\)のとき、最大値\(10\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(-10\)

\(y'=6x^2-2x-4\)
\(\ \ \ =2(x-1)(3x+2)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle -\frac{2}{3}\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(2\)
\(y'\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{17}{27}\)	\(\nearrow\)	\(-4\)	\(\nearrow\)	\(3\)

よって、
\(x=2\)のとき、最大値\(3\)
\(x=1\)のとき、最小値\(-4\)

\(y'=3x^2-4x\)
\(\ \ \ =x(3x-4)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{4}{3}\)	\(\cdots\)	\(2\)
\(y'\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(-3\)	\(\nearrow\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(\displaystyle -\frac{32}{27}\)	\(\nearrow\)	\(0\)

よって、
\(x=0,2\)のとき、最大値\(0\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(-3\)

切り取る正方形の一辺を\(x\)とすると、
\(x>0,10-2x>0\)より、\(0< x<5\)
箱の容積を\(y\)とすると、
\(y=(10-x)(16-x)x\)
\(\ \ =4x^3-52x^2+160x\)
\(y'=12x^2-104x+160\)
\(\ \ \ =4(3x-20)(x-2)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(10\)
\(y'\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(y\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(224\)	\(\searrow\)	\(0\)

よって、
正方形の一辺は\(2\)cm

切り取る正方形の一辺を\(x\)とすると、
\(x>0,30-2x>0\)より、\(0< x<15\)
箱の容積を\(y\)とすると、
\(y=x(30-x)^2\)
\(\ \ =4x^3-120x^2+900x\)
\(y'=12x^2-240x+900\)
\(\ \ \ =12(x-5)(x-15)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(5\)	\(\cdots\)	\(15\)
\(y'\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(y\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(2000\)	\(\searrow\)	\(0\)

よって、
正方形の一辺は\(5\)cm