1.次の関数の最大値と最小値を求めなさい。
(1)\(y=x^3+3x^2\ \ (-3\leqq x\leqq2)\)
\(y'=3x^2+6x\)
\(\ \ \ =3x(x+2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-3\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(20\) |
よって、
\(x=2\)のとき、最大値\(20\)
\(x=-3,0\)のとき、最小値\(0\)
(2)\(y=-2x^3+3x^2+12x-3\ \ (-2\leqq x\leqq1)\)
\(y'=-6x^2+6x+12\)
\(\ \ \ =-6(x+1)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(1\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(-10\) | \(\nearrow\) | \(10\) |
よって、
\(x=1\)のとき、最大値\(10\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(-10\)
(3)\(y=2x^3-x^2-4x-1\ \ (-1\leqq x\leqq2)\)
\(y'=6x^2-2x-4\)
\(\ \ \ =2(x-1)(3x+2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(-\frac{2}{3}\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\frac{17}{27}\) | \(\nearrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | \(3\) |
よって、
\(x=2\)のとき、最大値\(3\)
\(x=1\)のとき、最小値\(-4\)
(4)\(y=x^3-2x^2\ \ (-1\leqq x\leqq2)\)
\(y'=3x^2-4x\)
\(\ \ \ =x(3x-4)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\frac{4}{3}\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(-3\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-\frac{32}{27}\) | \(\nearrow\) | \(0\) |
よって、
\(x=0,2\)のとき、最大値\(0\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(-3\)
2.縦\(10cm\)、横\(16cm\)の長方形の四隅から合同な正方形を切り取って、ふたのない箱を作る。箱の容積を最大にするには、切り取る正方形の一辺を何\(cm\)にすればよいか求めなさい。
切り取る正方形の一辺を\(x\)とすると、
\(x>0,10-2x>0\)より、\(0< x<5\)
箱の容積を\(y\)とすると、
\(y=(10-x)(16-x)x\)
\(\ \ =4x^3-52x^2+160x\)
\(y'=12x^2-104x+160\)
\(\ \ \ =4(3x-20)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(10\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(224\) | \(\searrow\) | \(0\) |
よって、
正方形の一辺は\(2cm\)
3.一辺が\(30cm\)の正方形の四隅から合同な正方形を切り取って、ふたのない箱を作る。箱の容積を最大にするには、切り取る正方形の一辺を何\(cm\)にすればよいか求めなさい。
切り取る正方形の一辺を\(x\)とすると、
\(x>0,30-2x>0\)より、\(0< x<15\)
箱の容積を\(y\)とすると、
\(y=x(30-x)^2\)
\(\ \ =4x^3-120x^2+900x\)
\(y'=12x^2-240x+900\)
\(\ \ \ =12(x-5)(x-15)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(5\) | \(\cdots\) | \(15\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(2000\) | \(\searrow\) | \(0\) |
よって、
正方形の一辺は\(5cm\)