【高校数学Ⅱ】2-2-1 剰余の定理｜問題集

\(P(2)=2^3+2^2-3・2-2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =4\)

\(P(-1)=(-1)^3+(-1)^2-3・(-1)-2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^2-3・\left(\frac{1}{2}\right)-2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{25}{8}\)

剰余の定理より、\(P(-1)=-5\)
\(2・(-1)^3+5a・(-1)^2+a・(-1)+1=-5\)
よって、
\(a=-1\)

二次式\(4x^2-1\)で割ったときの余りは一次式なので、\(ax+b\)とおく。
\(P(x)=(4x^2-1)Q(x)+ax+b\)
\(P(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+ax+b\)
剰余の定理より、
\(\displaystyle P\left(-\frac{1}{2}\right)=5\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)=1\)
\(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle -\frac{1}{2}a+b=5 \\ \displaystyle \frac{1}{2}a+b=1\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-4,b=3\)
よって、求める余りは
\(-4x+3\)

二次式\(x^2-x-2\)で割ったときの余りは一次式なので、\(ax+b\)とおく。
\(P(x)=(x^2-x-2)Q(x)+ax+b\)
\(P(x)=(x-2)(x+1)Q(x)+ax+b\)
剰余の定理より、
\(P(2)=-2\)
\(P(-1)=1\)
\(\left\{\begin{array}{l}2a+b=-2 \\ -a+b=1\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-1,b=0\)
よって、求める余りは
\(-x\)

\(=(x+1)(x^2-5x+6)\)
\(=(x+1)(x-2)(x-3)\)

\(=(x+1)(2x^2+5x-3)\)
\(=(x+1)(2x-1)(x+3)\)