1.\(P(x)=x^3+x^2-3x-2\)を次の一次式で割ったとき、余りを求めなさい。
(1)\(x-2\)
\(P(2)=2^3+2^2-3・2-2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =4\)
(2)\(x+1\)
\(P(-1)=(-1)^3+(-1)^2-3・(-1)-2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1\)
(3)\(2x-1\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^2-3・\left(\frac{1}{2}\right)-2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{25}{8}\)
2.整式\(P(x)=2x^3+5ax^2+ax+1\)を\(x+1\)で割った余りが\(-5\)のとき、定数\(a\)の値を求めなさい。
剰余の定理より、\(P(-1)=-5\)
\(2・(-1)^3+5a・(-1)^2+a・(-1)+1=-5\)
よって、
\(a=-1\)
3.整式\(P(x)\)を\(2x+1,2x-1\)で割ったときの余りがそれぞれ\(5,1\)のとき、\(P(x)\)を\(4x^2-1\)で割ったときの余りを求めなさい。
二次式\(4x^2-1\)で割ったときの余りは一次式なので、\(ax+b\)とおく。
\(P(x)=(4x^2-1)Q(x)+ax+b\)
\(P(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+ax+b\)
剰余の定理より、
\(\displaystyle P\left(-\frac{1}{2}\right)=5\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)=1\)
\(\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=5 \\ \frac{1}{2}a+b=1\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-4,b=3\)
よって、求める余りは
\(-4x+3\)
4.整式\(P(x)\)を\(x-2,x+1\)で割ったときの余りがそれぞれ\(-2,1\)のとき、\(P(x)\)を\(x^2-x-2\)で割ったときの余りを求めなさい。
二次式\(x^2-x-2\)で割ったときの余りは一次式なので、\(ax+b\)とおく。
\(P(x)=(x^2-x-2)Q(x)+ax+b\)
\(P(x)=(x-2)(x+1)Q(x)+ax+b\)
剰余の定理より、
\(P(2)=-2\)
\(P(-1)=1\)
\(\left\{\begin{array}{l}2a+b=-2 \\ -a+b=1\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-1,b=0\)
よって、求める余りは
\(-x\)
5.次の式を因数分解しなさい。
(1)\(x^3-4x^2+x+6\)
\(=(x+1)(x^2-5x+6)\)
\(=(x+1)(x-2)(x-3)\)
(2)\(2x^3+7x^2+2x-3\)
\(=(x+1)(2x^2+5x-3)\)
\(=(x+1)(2x-1)(x+3)\)