【高校数学Ⅱ】5-2-2 対数関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「対数関数」について整理しています。対数関数のグラフの形や変化、対数の大小比較、対数方程式・不等式の解法、対数関数を含む二次関数の考え方をまとめています。グラフと式の関係を理解し、定期テストや大学入試に必要な要点を効率よく確認できます。
対数関数の基本グラフと性質
【対数関数のグラフ】
\(y=\log_{a}x\)のグラフを対数関数といい、\(a\)を底という。
・\(a>1\)のとき
・\(0< a<1\)のとき
【例題】次のグラフを描きなさい。
(1)\(y=\log_{2}x\)
(2)\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)
対数の大小比較とグラフの関係
【対数の大小比較】
(1)\(a>1\)のとき、
\(0< p< q\)ならば、\(\log_{a}p<\log_{a}q\)
(2)\(0< a<1\)のとき、
\(0< p< q\)ならば、\(\log_{a}p>\log_{a}q\)
【例題】次の数の大小を不等号を用いて表しなさい。
\(3\log_{2}3,2\log_{2}5\)
\(3\log_{2}3=\log_{2}3^3=\log_{2}27\)
\(2\log_{2}5=\log_{2}5^2=\log_{2}25\)
底\(2>1\)なので、
\(3\log_{2}3>2\log_{2}5\)
\(2\log_{2}5=\log_{2}5^2=\log_{2}25\)
底\(2>1\)なので、
\(3\log_{2}3>2\log_{2}5\)
対数方程式と対数不等式の解き方
【例題】次の式を解きなさい。
(1)\(\log_{2}x+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(10-x)\)
\(\log_{2}x(x+2)=\log_{2}(10-x)\)
\(x(x+2)=10-x\)
\(x^2+3x-10=0\)
\((x+5)(x-2)=0\)
\(x=-5,2\)
真数条件より、
\(x>0,x+2>0,10-x>0\)
すなわち、\(0< x<10\)
よって、
\(x=2\)
\(x(x+2)=10-x\)
\(x^2+3x-10=0\)
\((x+5)(x-2)=0\)
\(x=-5,2\)
真数条件より、
\(x>0,x+2>0,10-x>0\)
すなわち、\(0< x<10\)
よって、
\(x=2\)
(2)\(\log_{3}(x-3)+\log_{3}(x-5)\leqq1\)
\(\log_{3}(x-3)(x-5)\leqq\log_{3}3\)
\((x-3)(x-5)\leqq3\)
\(x^2-8x+12\leqq0\)
\((x-2)(x-6)\leqq0\)
\(2\leqq x\leqq6\)
真数条件より、
\(x-3>0,x-5>0\)
すなわち、\(x>5\)
よって、
\(5< x\leqq6\)
\((x-3)(x-5)\leqq3\)
\(x^2-8x+12\leqq0\)
\((x-2)(x-6)\leqq0\)
\(2\leqq x\leqq6\)
真数条件より、
\(x-3>0,x-5>0\)
すなわち、\(x>5\)
よって、
\(5< x\leqq6\)
(3)\(2(\log_{2}x)^2+3\log_{2}x-2=0\)
\((2\log_{2}x-1)(\log_{2}x+2)=0\)
\(\displaystyle \log_{2}x=\frac{1}{2},-2\)
\(\log_{2}x=\log_{2}2^{\frac{1}{2}},\log_{2}2^{-2}\)
\(x=2^{\frac{1}{2}},2^{-2}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{2},\frac{1}{4}\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle x=\sqrt{2},\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \log_{2}x=\frac{1}{2},-2\)
\(\log_{2}x=\log_{2}2^{\frac{1}{2}},\log_{2}2^{-2}\)
\(x=2^{\frac{1}{2}},2^{-2}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{2},\frac{1}{4}\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle x=\sqrt{2},\frac{1}{4}\)
(4)\((\log_{3}x)^2-\log_{3}x-6\geqq0\)
\((\log_{3}x+2)(\log_{3}x-3)\geqq0\)
\(\log_{3}x\leqq-2,3\leqq\log_{3}x\)
\(\log_{3}x\leqq\log_{3}3^{-2},\log_{3}3^3\leqq\log_{3}x\)
\(x\leqq3^{-2},3^3\leqq x\)
\(\displaystyle x\leqq\frac{1}{9},27\leqq x\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle 0< x\leqq\frac{1}{9},27\leqq x\)
\(\log_{3}x\leqq-2,3\leqq\log_{3}x\)
\(\log_{3}x\leqq\log_{3}3^{-2},\log_{3}3^3\leqq\log_{3}x\)
\(x\leqq3^{-2},3^3\leqq x\)
\(\displaystyle x\leqq\frac{1}{9},27\leqq x\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle 0< x\leqq\frac{1}{9},27\leqq x\)
対数関数を含む二次関数の考察
【例題】次の関数の最大値と最小値を求めなさい。
\(y=(\log_{2}x)^2-\log_{2}x^4-1\ \ (1\leqq x\leqq8)\)
\(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x-1\)
\(\ \ =(\log_{2}x-2)^2-5\)
定義域は\(1\leqq x\leqq8\)より、\(\displaystyle 0\leqq\log_{2}x\leqq3\)
\(\log_{2}x=0\)のとき、最大値\(-1\)
\(x=1\)
\(\log_{2}x=2\)のとき、最小値\(-5\)
\(x=4\)
よって、
最大値は\(-1\)(\(x=1\)のとき)
最小値は\(-5\)(\(x=4\)のとき)
\(\ \ =(\log_{2}x-2)^2-5\)
定義域は\(1\leqq x\leqq8\)より、\(\displaystyle 0\leqq\log_{2}x\leqq3\)
\(\log_{2}x=0\)のとき、最大値\(-1\)
\(x=1\)
\(\log_{2}x=2\)のとき、最小値\(-5\)
\(x=4\)
よって、
最大値は\(-1\)(\(x=1\)のとき)
最小値は\(-5\)(\(x=4\)のとき)
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