分数式
【分数式】
分母が整式となっている式を分数式という。分数式は分母と分子をその共通因数で約分することができる。
分母と分子が共通因数をもたない分数式を既約分数式という。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{36x^2y}{9xy^3}\)
\(\displaystyle =\frac{4x}{y^2}\)
(2)\(\displaystyle \frac{2y^3}{3x^2}÷\frac{4y^2}{6x}\)
\(\displaystyle =\frac{2y^3}{3x^2}×\frac{6x}{4y^2}\)
\(\displaystyle =\frac{y}{x}\)
(3)\(\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{x^2-1}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-7)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle =\frac{x-7}{x-1}\)
(4)\(\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x+1)}\)
\(\displaystyle =\frac{x-2}{x+1}\)
分数式の四則計算
【分数式の四則計算】
分母が異なる分数式の加法減法は分母を同じ分数式にしてから計算する。このように分母を揃えることを通分という。
\(\displaystyle \frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^2+2x-8}{x^2-4x+4}×\frac{x-2}{x-4}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+2)(x-4)}{(x-2)^2}×\frac{x-2}{x-4}\)
\(\displaystyle =\frac{x+2}{x-2}\)
(2)\(\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-2x+1}÷\frac{4x^2-1}{x^2-5x+4}\)
\(\displaystyle =\frac{2x-1}{(x-1)^2}×\frac{(x-1)(x-4)}{(2x+1)(2x-1)}\)
\(\displaystyle =\frac{x-4}{(x-1)(2x+1)}\)
(3)\(\displaystyle \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-2)+2(x+1)}{(x+1)(x-2)}\)
\(\displaystyle =\frac{3x}{(x+1)(x-2)}\)
(4)\(\displaystyle \frac{x^3+8x}{x^2-x-2}-\frac{8}{x-2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x^3+8x}{(x+1)(x-2)}-\frac{8}{x-2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x^3+8x)-8(x+1)}{(x+1)(x-2)}\)
\(\displaystyle =\frac{x^3-8}{(x+1)(x-2)}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x+1)(x-2)}\)
\(\displaystyle =\frac{x^2+2x+4}{x+1}\)
繁分数式
【繁分数式】
分数式の分母分子にさらに分数式がある式を繁分数式という。
繁分数式の解法は
(1)分数式を通分して計算する。
(2)全体の分数式の分母分子に値をかけて分数式をなくす。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle =\frac{x+1}{x^2-1}\)
\(\displaystyle =\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{x-1}\)
(2)\(\displaystyle \frac{1+\frac{y}{x-y}}{1-\frac{x}{x-y}}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-y)+y}{(x-y-x)}\)
\(\displaystyle =\frac{x}{-y}\)
\(\displaystyle =-\frac{x}{y}\)