【高校数学Ⅱ】3-2-2 円と直線｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「円と直線」について要点を整理しています。円と直線の共有点の求め方や位置関係の判定方法、接線の方程式の求め方を解説。定期テストや大学入試で頻出の重要ポイントを効率的に理解できます。
円と直線が交わる点の求め方
【円と直線の共有点】
円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)と直線\(y=px+q\)の共有点の求め方
(1)直線の方程式を円の方程式に代入する。
(2)式を\(ax^2+bx+c=0\)にして、\(x\)の解を求める。
(3)\(x\)の解を直線の式に代入して\(y\)を求める。
【例題】円\(x^2+y^2=2\)と直線\(y=2x+3\)の共有点を求めなさい。
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(2x+3)^2=2\)
\(5x^2+12x+7=0\)
\((5x+7)(x+1)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5},-1\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5}\)のとき、\(\displaystyle y=\frac{1}{5}\)
\(x=-1\)のとき、\(y=1\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{7}{5},\frac{1}{5}\right),(-1,1)\)
\(x^2+(2x+3)^2=2\)
\(5x^2+12x+7=0\)
\((5x+7)(x+1)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5},-1\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5}\)のとき、\(\displaystyle y=\frac{1}{5}\)
\(x=-1\)のとき、\(y=1\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{7}{5},\frac{1}{5}\right),(-1,1)\)
円と直線の位置関係の判定方法
【円と直線の位置関係】
直線の方程式を円の方程式に代入して得られる二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)とする。
このとき、円と直線の位置関係の判別式\(D=b^2-4ac\)は次のようになる。
(1)\(D>0\)のとき、異なる\(2\)点で交わる。
(2)\(D=0\)のとき、\(1\)点で交わる。
(3)\(D<0\)のとき、共有点はない。
【例題】円\(x^2+y^2=1\)と直線\(y=x+m\)が\(1\)つの共有点を持つとき、\(m\)を求めなさい。
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(x+m)^2=1\)
\(2x^2+2mx+m^2-1=0\)
この式の判別式\(D\)は、
\(D=(2m)^2-4・2・(m^2-1)\)
\(\ \ =-4m^2+8\)
\(1\)つの共有点を持つことから、\(D=0\)なので、
\(m=\pm\sqrt{2}\)
\(x^2+(x+m)^2=1\)
\(2x^2+2mx+m^2-1=0\)
この式の判別式\(D\)は、
\(D=(2m)^2-4・2・(m^2-1)\)
\(\ \ =-4m^2+8\)
\(1\)つの共有点を持つことから、\(D=0\)なので、
\(m=\pm\sqrt{2}\)
円の接線の方程式の求め方
【円の接線方程式】
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点\((x_1,y_1)\)の接線方程式は
\(x_1x+y_1y=r^2\)
【例題】次の円上の点における接線方程式を求めなさい。
(1)円\(x^2+y^2=25\)、点\((3,-4)\)
\(3x-4y=25\)
(2)円\(x^2+y^2=4\)、点\((-1,\sqrt{3})\)
\(-x+\sqrt{3}y=4\)
(3)円\(x^2+y^2=8\)、点\((0,2\sqrt{2})\)
\(0x+2\sqrt{2}y=8\)
\(2\sqrt{2}y=8\)
\(y=2\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{2}y=8\)
\(y=2\sqrt{2}\)
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