円と直線の共有点
【円と直線の共有点】
円\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)と直線\(y=px+q\)の共有点の求め方
(1)直線の方程式を円の方程式に代入する。
(2)式を\(ax^2+bx+c=0\)にして、\(x\)の解を求める。
(3)\(x\)の解を直線の式に代入して\(y\)を求める。
【例題】円\(x^2+y^2=2\)と直線\(y=2x+3\)の共有点を求めなさい。
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(2x+3)^2=2\)
\(5x^2+12x+7=0\)
\((5x+7)(x+1)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5},-1\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{5}\)のとき、\(\displaystyle y=\frac{1}{5}\)
\(x=-1\)のとき、\(y=1\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{7}{5},\frac{1}{5}\right),(-1,1)\)
円と直線の位置関係
【円と直線の位置関係】
直線の方程式を円の方程式に代入して得られる二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)とする。
このとき、円と直線の位置関係の判別式\(D=b^2-4ac\)は次のようになる。
(1)\(D>0\)のとき、異なる\(2\)点で交わる。
(2)\(D=0\)のとき、\(1\)点で交わる。
(3)\(D<0\)のとき、共有点はない。
【例題】円\(x^2+y^2=1\)と直線\(y=x+m\)が\(1\)つの共有点を持つとき、\(m\)を求めなさい。
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(x+m)^2=1\)
\(2x^2+2mx+m^2-1=0\)
この式の判別式\(D\)は、
\(D=(2m)^2-4・2・(m^2-1)\)
\(\ \ =-4m^2+8\)
\(1\)つの共有点を持つことから、\(D=0\)なので、
\(m=\pm\sqrt{2}\)
円の接線方程式
【円の接線方程式】
円\(x^2+y^2=r^2\)上の点\((x_1,y_1)\)の接線方程式は
\(x_1x+y_1y=r^2\)
【例題】次の円上の点における接線方程式を求めなさい。
(1)円\(x^2+y^2=25\)、点\((3,-4)\)
\(3x-4y=25\)
(2)円\(x^2+y^2=13\)、点\((-1,\sqrt{3})\)
\(-x+\sqrt{3}y=13\)
(3)円\(x^2+y^2=12\)、点\((0,2\sqrt{2})\)
\(0x+2\sqrt{2}y=12\)
\(2\sqrt{2}y=12\)