【高校数学Ⅱ】2-1-3 解と係数の関係｜問題集
1.二次方程式\(x^2+3x-1=0\)の\(2\)つの解\(\alpha,\beta\)とするとき、次の式の値を求めなさい。
(1)\(\alpha^2+\beta^2\)
解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=-3\)
\(\alpha\beta=-1\)
\(\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=(-3)^2-2・(-1)\)
\(=11\)
\(\alpha+\beta=-3\)
\(\alpha\beta=-1\)
\(\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=(-3)^2-2・(-1)\)
\(=11\)
(2)\(\alpha^3+\beta^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=(-3)^3-3・(-1)・(-3)\)
\(=-36\)
\(=(-3)^3-3・(-1)・(-3)\)
\(=-36\)
(3)\(\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\)
\(\displaystyle =\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\)
\(\displaystyle =\frac{11}{-1}\)
\(=-11\)
\(\displaystyle =\frac{11}{-1}\)
\(=-11\)
(4)\((\alpha-\beta)^2\)
\(=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\)
\(=11-2・(-1)\)
\(=13\)
\(=11-2・(-1)\)
\(=13\)
2.二次方程式\(x^2+5x+m=0\)の\(2\)つの解が次の条件をみたすとき、定数\(m\)と\(2\)つの解を答えなさい。
(1)\(1\)つの解が他の解の\(4\)倍である。
解と係数の関係より、
\(\alpha+4\alpha=-5\)
\(\alpha・4\alpha=m\)
これを解くと、
\(\alpha=1,m=4\)
よって、
\(m=4\)のとき、\(x=-1,-4\)
\(\alpha+4\alpha=-5\)
\(\alpha・4\alpha=m\)
これを解くと、
\(\alpha=1,m=4\)
よって、
\(m=4\)のとき、\(x=-1,-4\)
(2)\(2\)つの解の差が\(1\)である。
解と係数の関係より、
\(\alpha+(\alpha+1)=-5\)
\(\alpha(\alpha+1)=m\)
これを解くと、
\(\alpha=-3,m=6\)
よって、
\(m=6\)のとき、\(x=-2,-3\)
\(\alpha+(\alpha+1)=-5\)
\(\alpha(\alpha+1)=m\)
これを解くと、
\(\alpha=-3,m=6\)
よって、
\(m=6\)のとき、\(x=-2,-3\)
3.二次式\(2x^2-2x+3\)を因数分解しなさい。
二次方程式\(2x^2-2x+3=0\)の解は
\(\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{5}i}{2}\)
よって、
\(2x^2-2x+3\)
\(\displaystyle =2\left(x-\frac{1+\sqrt{5}i}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}i}{2}\right)\)
\(\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{5}i}{2}\)
よって、
\(2x^2-2x+3\)
\(\displaystyle =2\left(x-\frac{1+\sqrt{5}i}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}i}{2}\right)\)
4.次の\(2\)数を解とする二次方程式を答えなさい。
(1)\(2+\sqrt{3},2-\sqrt{3}\)
\(\alpha+\beta=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\)
\(\alpha\beta=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\)
よって、
\(x^2-4x+1=0\)
\(\alpha\beta=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\)
よって、
\(x^2-4x+1=0\)
(2)\(1+2i,1-2i\)
\(\alpha+\beta=(1+2i)+(1-2i)=2\)
\(\alpha\beta=(1+2i)(1-2i)=5\)
よって、
\(x^2-2x+5=0\)
\(\alpha\beta=(1+2i)(1-2i)=5\)
よって、
\(x^2-2x+5=0\)
(3)\(3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}\)
\(\alpha+\beta=(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\)
\(\alpha\beta=(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=7\)
よって、
\(x^2-6x+7=0\)
\(\alpha\beta=(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=7\)
よって、
\(x^2-6x+7=0\)
(4)\(3+5i,3-5i\)
\(\alpha+\beta=(3+5i)+(3-5i)=6\)
\(\alpha\beta=(3+5i)(3-5i)=34\)
よって、
\(x^2-6x+34=0\)
\(\alpha\beta=(3+5i)(3-5i)=34\)
よって、
\(x^2-6x+34=0\)
5.次の和と積になる\(2\)数を求めなさい。
(1)和:\(-2\)、積:\(4\)
和:\(-2\)、積:\(4\)となる二次方程式は
\(x^2+2x+4=0\)
これを解くと、
\(x=-1\pm\sqrt{3}i\)
\(x^2+2x+4=0\)
これを解くと、
\(x=-1\pm\sqrt{3}i\)
(2)和:\(2\)、積:\(7\)
和:\(2\)、積:\(7\)となる二次方程式は
\(x^2-2x+7=0\)
これを解くと、
\(x=1\pm\sqrt{6}i\)
\(x^2-2x+7=0\)
これを解くと、
\(x=1\pm\sqrt{6}i\)
(3)和:\(7\)、積:\(3\)
和:\(7\)、積:\(3\)となる二次方程式は
\(x^2-7x+3=0\)
これを解くと、
\(\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{37}}{2}\)
\(x^2-7x+3=0\)
これを解くと、
\(\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{37}}{2}\)
6.二次方程式\(x^2-2x+5=0\)の\(2\)つの解を\(\alpha,\beta\)とするとき、次の\(2\)つの数を解にもつ二次方程式を答えなさい。
(1)\(2\alpha-1,2\beta-1\)
解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=2\)
\(\alpha\beta=5\)
\((2\alpha-1)+(2\beta-1)\)
\(=2(\alpha+\beta)-2\)
\(=2・2-2\)
\(=2\)
\((2\alpha-1)(2\beta-1)\)
\(=4\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+1\)
\(=4・5-2・2+1\)
\(=17\)
よって、
\(x^2-2x+17=0\)
\(\alpha+\beta=2\)
\(\alpha\beta=5\)
\((2\alpha-1)+(2\beta-1)\)
\(=2(\alpha+\beta)-2\)
\(=2・2-2\)
\(=2\)
\((2\alpha-1)(2\beta-1)\)
\(=4\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+1\)
\(=4・5-2・2+1\)
\(=17\)
よって、
\(x^2-2x+17=0\)
(2)\(\alpha^2,\beta^2\)
\(\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=2^2-2・5\)
\(=-6\)
\(\alpha^2\beta^2\)
\(=(\alpha\beta)^2\)
\(=5^2\)
\(=25\)
よって、
\(x^2+6x+25=0\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=2^2-2・5\)
\(=-6\)
\(\alpha^2\beta^2\)
\(=(\alpha\beta)^2\)
\(=5^2\)
\(=25\)
よって、
\(x^2+6x+25=0\)
7.二次方程式\(x^2+mx+m+8=0\)が、次の条件をみたすように実数\(m\)の範囲を求めなさい。
(1)異なる\(2\)つの正の解をもつ。
判別式\(D\)を求めると、
\(D=m^2-4・1・(m+8)=(m+4)(m+8)\)
解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=-m\)
\(\alpha\beta=m+8\)
\(D>0,\alpha+\beta>0,\alpha\beta>0\)をみたせばよいので、
\(D>0\)なので、\((m+4)(m-8)>0\)
よって、\(m<-4,8< m\)
\(\alpha+\beta>0\)なので、\(-m>0\)
よって、\(m<0\)
\(\alpha\beta>0\)なので、\(m+8>0\)
よって、\(m>-8\)
以上より、\(-8< m<-4\)
\(D=m^2-4・1・(m+8)=(m+4)(m+8)\)
解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=-m\)
\(\alpha\beta=m+8\)
\(D>0,\alpha+\beta>0,\alpha\beta>0\)をみたせばよいので、
\(D>0\)なので、\((m+4)(m-8)>0\)
よって、\(m<-4,8< m\)
\(\alpha+\beta>0\)なので、\(-m>0\)
よって、\(m<0\)
\(\alpha\beta>0\)なので、\(m+8>0\)
よって、\(m>-8\)
以上より、\(-8< m<-4\)
(2)異なる\(2\)つの負の解をもつ。
\(D>0,\alpha+\beta<0,\alpha\beta>0\)をみたせばよいので、
\(D>0\)なので、\((m+4)(m+8)>0\)
よって、\(m<-4,8< m\)
\(\alpha+\beta<0\)なので、\(-m<0\)
よって、\(m>0\)
\(\alpha\beta>0\)なので、\(m+8>0\)
よって、\(m>-8\)
以上より、\(m>8\)
\(D>0\)なので、\((m+4)(m+8)>0\)
よって、\(m<-4,8< m\)
\(\alpha+\beta<0\)なので、\(-m<0\)
よって、\(m>0\)
\(\alpha\beta>0\)なので、\(m+8>0\)
よって、\(m>-8\)
以上より、\(m>8\)
(3)正と負の解をもつ。
\(\alpha\beta<0\)をみたせばよいので、
\(\alpha\beta<0\)なので、\(m+8<0\)
よって、\(m<-8\)
\(\alpha\beta<0\)なので、\(m+8<0\)
よって、\(m<-8\)
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