【高校数学Ⅱ】6-2-1 関数の極大・極小｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「関数の極大・極小」について整理しています。関数の増減と極値の関係、三次関数の決定方法や極大・極小の条件をわかりやすく解説し、グラフを用いて理解を深められるようまとめています。定期テストや大学入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。
関数の増減表と極値の求め方
【関数の増減】
関数\(f(x)\)の値の増減は、
\(f'(x)>0\)のとき、\(f(x)\)の値は増加する。
\(f'(x)<0\)のとき、\(f(x)\)の値は減少する。
【関数の極値】
関数\(f(x)\)において、\(f'(x)=0\)となる\(x\)の値の前後で、\(f'(x)\)が
正から負に変わるとき、\(f(x)\)は極大値になる。
負から正に変わるとき、\(f(x)\)は極小値になる。
極大値と極小値を合わせて極値という。
【例題】次の関数の増減と極値を調べ、グラフをかきなさい。
(1)\(y=x^3-6x^2+5\)
\(y=(x-1)(x^2-5x-5)\)
\(y'=3x^2-12x\)
\(\ \ \ =3x(x-4)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(5\)
\(x=4\)のとき、極小値\(-27\)
\(y'=3x^2-12x\)
\(\ \ \ =3x(x-4)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(4\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(5\) | \(\searrow\) | \(-27\) | \(\nearrow\) |
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(5\)
\(x=4\)のとき、極小値\(-27\)
(2)\(y=x^3-3x^2+4\)
\(y=(x+1)(x^2-4x+4)\)
\(\ \ =(x+1)(x-2)^2\)
\(y'=3x^2-6x\)
\(\ \ \ =3x(x-2)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(4\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)
\(\ \ =(x+1)(x-2)^2\)
\(y'=3x^2-6x\)
\(\ \ \ =3x(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(4\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)
(3)\(y=2x^4-8x^3+8x^2\)
\(y=2x^2(x^2-4x+4)\)
\(\ \ =2x^2(x-2)^2\)
\(y'=8x^3-24x^2+16x\)
\(\ \ \ =8x(x^2-3x+2)\)
\(\ \ \ =8x(x-1)(x-2)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(x=1\)のとき、極大値\(2\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)
\(\ \ =2x^2(x-2)^2\)
\(y'=8x^3-24x^2+16x\)
\(\ \ \ =8x(x^2-3x+2)\)
\(\ \ \ =8x(x-1)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
したがって、
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(x=1\)のとき、極大値\(2\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)
三次関数の決定方法と具体例
【例題】関数\(f(x)=x^3+ax^2-9x+b\)が\(x=-1\)で極大値\(8\)をとるとき、\(a,b\)と極小値を求めなさい。
\(f'(x)=3x^2+2ax-9\)
\(x=-1\)で極大となるので、\(f'(-1)=0\)
\(3-2a-9=0\)
\(a=-3\)
\((-1,8)\)を通るので、\(f(-1)=8\)
\(-1-3+9+b=8\)
\(b=3\)
すなわち、
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+3\)
\(f'(x)=3x^2-6x-9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =3(x+1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
よって、
\(a=-3,b=3\)
極小値は\(-24\)
\(x=-1\)で極大となるので、\(f'(-1)=0\)
\(3-2a-9=0\)
\(a=-3\)
\((-1,8)\)を通るので、\(f(-1)=8\)
\(-1-3+9+b=8\)
\(b=3\)
すなわち、
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+3\)
\(f'(x)=3x^2-6x-9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =3(x+1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(3\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(8\) | \(\searrow\) | \(-24\) | \(\nearrow\) |
よって、
\(a=-3,b=3\)
極小値は\(-24\)
三次関数における極大値・極小値の条件
【三次関数の極値の条件】
三次関数\(f(x)\)が極値をもつとき、
\(f'(x)=0\)の判別式\(D>0\)
三次関数\(f(x)\)が極値をもたないとき、
\(f'(x)=0\)の判別式\(D\leqq0\)
【例題】\(f(x)=x^3+kx^2+3x+3\)が極値をもたないような\(k\)の範囲を求めなさい。
\(f'(x)=3x^2+2kx+3\)
極値を持たないようにするので、\(D\leqq0\)
\((2k)^2-4・3・3\leqq0\)
\((k+3)(k-3)\leqq0\)
\(-3\leqq k\leqq3\)
極値を持たないようにするので、\(D\leqq0\)
\((2k)^2-4・3・3\leqq0\)
\((k+3)(k-3)\leqq0\)
\(-3\leqq k\leqq3\)
次の学習に進もう！