6-2-1 関数の極大・極小(要点)

関数の増減と極値

【関数の増減】

関数\(f(x)\)の値の増減は、
\(f'(x)>0\)のとき、\(f(x)\)の値は増加する。
\(f'(x)<0\)のとき、\(f(x)\)の値は減少する。

【関数の極値】

関数\(f(x)\)において、\(f'(x)=0\)となる\(x\)の値の前後で、\(f'(x)\)が
正から負に変わるとき、\(f(x)\)は極大値になる。
負から正に変わるとき、\(f(x)\)は極小値になる。
極大値と極小値を合わせて極値という。

【例題】次の関数の増減と極値を調べ、グラフをかきなさい。

(1)\(y=x^3-6x^2+5\)

\(y=(x-1)(x^2-5x-5)\)
\(y'=3x^2-12x\)
\(\ \ \ =3x(x-4)\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(4\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(\nearrow\)	\(5\)	\(\searrow\)	\(-27\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(5\)
\(x=4\)のとき、極小値\(-27\)

(2)\(y=x^3-3x^2+4\)

\(y=(x+1)(x^2-4x+4)\)
\(\ \ =(x+1)(x-2)^2\)
\(y'=3x^2-6x\)
\(\ \ \ =3x(x-2)\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(\nearrow\)	\(4\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(4\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)

(3)\(y=2x^4-8x^3+8x^2\)

\(y=2x^2(x^2-4x+4)\)
\(\ \ =2x^2(x-2)^2\)
\(y'=8x^3-24x^2+16x\)
\(\ \ \ =8x(x^2-3x+2)\)
\(\ \ \ =8x(x-1)(x-2)\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(2\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(x=1\)のとき、極大値\(2\)
\(x=2\)のとき、極小値\(0\)

三次関数の決定

【例題】関数\(f(x)=x^3+ax^2-9x+b\)が\(x=-1\)で極大値\(8\)をとるとき、\(a,b\)と極小値を求めなさい。

\(f'(x)=3x^2+2ax-9\)
\(x=-1\)で極大となるので、\(f'(-1)=0\)
\(3-2a-9=0\)
\(a=-3\)
\((-1,8)\)を通るので、\(f(-1)=8\)
\(-1-3+9+b=8\)
\(b=3\)
すなわち、
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+3\)
\(f'(x)=3x^2-6x-9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =3(x+1)(x-3)\)
増減表にまとめると、