1.次の\(2\)点間の距離を求めなさい。
(1)\(A(1,2),B(4,6)\)
\(AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{3^2+4^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{25}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\)
(2)\(A(-3,1),B(2,-4)\)
\(AB=\sqrt{(2-(-3))^2+(-4-1)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5^2+5^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{50}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\sqrt{2}\)
(3)\(A(5,-2),B(3,-2)\)
\(AB=\sqrt{(5-3)^2+(-2-(-2))^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{2^2+0^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{4}\)
\(\ \ \ \ \ \ =2\)
(4)\(A(0,0),B(2,-3)\)
\(AB=\sqrt{2^2+(-3)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{13}\)
2.\(2\)点\(A(-4,2),B(1,-1)\)から等距離にある\(y\)軸上にある点\(P\)を求めなさい。
\(P(0,y)\)とおく。
\(AP=\sqrt{(-4)^2+(y-2)^2}\)
\(BP=\sqrt{1^2+(y-(-1))^2}\)
\(AP=BP\)より、
\(16+(y-2)^2=1+(y+1)^2\)
\(6y=18\)
\(y=3\)
よって、
\(P(0,3)\)
3.\(2\)点\(A(0,-6),B(7,0)\)がある。次の点を求めなさい。
(1)線分\(AB\)の中点\(M\)
\(\displaystyle \left(\frac{0+7}{2},\frac{-6+0}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{7}{2},\frac{-6}{2}\right)\)
よって、\(\displaystyle M\left(\frac{7}{2},-3\right)\)
(2)線分\(AB\)を\(3:4\)に内分する点\(P\)
\(\displaystyle \left(\frac{4・0+3・7}{3+4},\frac{4・(-6)+3・0}{3+4}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{21}{7},\frac{-24}{7}\right)\)
よって、\(\displaystyle P\left(3,-\frac{24}{7}\right)\)
(3)線分\(AB\)を\(3:4\)に外分する点\(Q\)
\(\displaystyle \left(\frac{4・0-3・7}{-3+4},\frac{4・(-6)-3・0}{-3+4}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{-21}{1},\frac{-24}{1}\right)\)
よって、\(Q(-21,-24)\)
4.点\(A(-3,2)\)に関して、点\(P(0,-4)\)と対称な点\(Q\)の座標を求めなさい。
\(Q(x,y)\)とおくと、点\(A\)は
\(\displaystyle \left(\frac{x}{2},\frac{y-4}{2}\right)=(-3,2)\)
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=3 \\ \frac{y-4}{2}=2\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(x=-6,y=8\)
よって、
\(Q(-6,8)\)
5.次の\(3\)点\(A,B,C\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G\)を求めなさい。
(1)\(A(1,1),B(5,2),C(3,4)\)
\(\displaystyle \left(\frac{1+5+3}{3},\frac{1+2+4}{3}\right)\)
\(\displaystyle =\left(3,\frac{7}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(3,\frac{7}{3}\right)\)
(2)\(A(-1,3),B(2,-1),C(5,0)\)
\(\displaystyle \left(\frac{-1+2+5}{3},\frac{3-1+0}{3}\right)\)
\(\displaystyle =\left(2,\frac{2}{3}\right)\)
よって、\(\displaystyle G\left(2,\frac{2}{3}\right)\)