二次方程式の解と係数の関係
【二次方程式の解と係数の関係】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の\(2\)つの解を\(\alpha,\beta\)とすると、
\(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\(\displaystyle \alpha\beta=\frac{c}{a}\)
【例題】次の二次方程式の\(2\)つの解\(\alpha,\beta\)の和と積を求めなさい。
(1)\(2x^2+3x+4=0\)
\(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{3}{2}\)
\(\alpha\beta=2\)
(2)\(x^2-4x-6=0\)
\(\alpha+\beta=4\)
\(\alpha\beta=-6\)
(3)\(-2x^2+2x+5=0\)
\(\alpha+\beta=1\)
\(\displaystyle \alpha\beta=-\frac{5}{2}\)
(4)\(\displaystyle 4x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}=0\)
\(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{3}{8}\)
\(\displaystyle \alpha\beta=-\frac{1}{16}\)
二次式の因数分解
【二次式の因数分解】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の\(2\)つの解を\(\alpha,\beta\)とすると、
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
【例題】次の二次式を因数分解しなさい。
(1)\(2x^2-3x-1\)
二次方程式\(2x^2-3x-1=0\)の解は
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)
よって、
\(2x^2-3x-1\)
\(\displaystyle =2\left(x-\frac{3+\sqrt{17}}{4}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{17}}{4}\right)\)
(2)\(x^2-2x+5\)
二次方程式\(x^2-2x+5=0\)の解は
\(x=1\pm2i\)
よって、
\(x^2-2x+5\)
\(=(x-1-2i)(x-1+2i)\)
二次方程式の決定
【二次方程式の決定】
\(2\)つの数\(\alpha,\beta\)を解にもつ二次方程式は、
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
【例題】次の\(2\)数を解とする二次方程式を答えなさい。
(1)\(3+2\sqrt{2},3-2\sqrt{2}\)
\(\alpha+\beta=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6\)
\(\alpha\beta=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1\)
よって、
\(x^2-6x+1=0\)
(2)\(2+i,2-i\)
\(\alpha+\beta=(2+i)+(2-i)=4\)
\(\alpha\beta=(2+i)(2-i)=5\)
よって、
\(x^2-4x+5=0\)