【高校数学Ⅱ】5-2-2 対数関数｜問題集

\(3\log_{4}3=\log_{4}3^3=\log_{4}27\)
\(2\log_{4}5=\log_{4}5^2=\log_{4}25\)
底\(4>1\)なので、
\(3\log_{4}3>2\log_{4}5\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{4}}8=\log_{\frac{1}{4}}8^{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{8}\)
\(\log_{\frac{1}{4}}3=\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{9}\)
底\(\displaystyle \frac{1}{4}<1\)なので、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{4}}8>\log_{\frac{1}{4}}3\)

\(\log_{2}3\)
\(2=\log_{2}2^2=\log_{2}4\)
底\(2>1\)なので、
\(\log_{2}3<2\)

\(\log_{3}10\)
\(2=\log_{3}3^2=\log_{3}9\)
\(3\log_{3}2=\log_{3}2^3=\log_{3}8\)
底\(3>1\)なので、
\(3\log_{3}2<2<\log_{3}10\)

\(\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}\)
\(\displaystyle 1+\log_{\frac{1}{2}}3=\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}\)
底\(\displaystyle \frac{1}{2}<1\)なので、
\(\displaystyle 1+\log_{\frac{1}{2}}3<\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}=-\frac{1}{2}\)

\(2=\log_{2}2^2=\log_{2}4=\log_{2}\sqrt{16}\)
\(\log_{2}6=\log_{2}\sqrt{36}\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{27}=\frac{\log_{2}\frac{1}{27}}{\log_{2}\frac{1}{4}}=\frac{-3\log_{2}3}{-2}=\log_{2}\sqrt{27}\)
底\(2>1\)なので、
\(\displaystyle 2<\log_{2}6<\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{27}\)

\(x=3^{\log_{9}25}\)とおくと、
\(\log_{3}x=\log_{3}3^{\log_{9}25}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\log_{9}25\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\log_{3}25}{\log_{3}9}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\log_{3}5^2}{\log_{3}3^2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2\log_{3}5}{2}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\log_{3}5\)
よって、
\(x=5\)

\(x=4^{\log_{2}\sqrt{2}}\)とおくと、
\(\log_{2}x=\log_{2}2^{2\log_{2}\sqrt{2}}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\log_{2}\sqrt{2}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\log_{2}2\)
よって、
\(x=2\)

\(\log_{2}x=\log_{2}2^4\)
\(x=2^4\)
\(x=16\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x=16\)

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^0\)
\(\displaystyle x=\left(\frac{1}{2}\right)^0\)
\(x=1\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x=1\)

\(\log_{3}(x+1)=\log_{3}3^2\)
\(x+1=3^2\)
\(x=8\)
真数条件より、
\(x+1>0\)
すなわち、\(x>-1\)
よって、
\(x=8\)

\(\log_{2}x=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}\frac{1}{2}}\)
\(\log_{2}x=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}2^{-1}}\)
\(\log_{2}x=-\log_{2}5\)
\(\displaystyle \log_{2}x=\log_{2}\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{5}\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{5}\)

\(\log_{3}(x+2)=\log_{3}3^3\)
\(x+2=3^3\)
\(x=25\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x=25\)

\(\log_{3}x<\log_{3}3^1\)
\(x<3^1\)
\(x<3\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(0< x<3\)

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x-1)>\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle x-1<\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle x<\frac{4}{3}\)
真数条件より、
\(x-1>0\)
すなわち、\(x>1\)
よって、
\(\displaystyle 1< x<\frac{4}{3}\)

\(\log_{2}(2x-1)>\log_{2}2^2\)
\(2x-1>2^2\)
\(\displaystyle x>\frac{5}{2}\)
真数条件より、
\(2x-1>0\)
すなわち、\(\displaystyle x>\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle x>\frac{5}{2}\)

\(\log_{0.1}x\leqq\log_{0.1}0.1^{-1}\)
\(x\geqq0.1^{-1}\)
\(x\geqq10\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x\geqq10\)

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x^2+5)>\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(\displaystyle x^2+5<\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(x^2<4\)
\(-2< x<2\)
真数条件より、
\(x^2+5>0\)
すなわち、真数は常に正である。
よって、
\(-2< x<2\)

\(\log_{4}x(x-6)=\log_{4}4^2\)
\(x(x-6)=4^2\)
\(x^2-6x-16=0\)
\((x+2)(x-8)=0\)
\(x=-2,8\)
真数条件より、
\(x>0,x-6>0\)
すなわち、\(x>6\)
よって、
\(x=8\)

\(\log_{2}(x+5)(x-2)=\log_{2}2^3\)
\((x+5)(x-2)=2^3\)
\(x^2+3x-18=0\)
\((x+6)(x-3)=0\)
\(x=-6,3\)
真数条件より、
\(x+5>0,x-2>0\)
すなわち、\(x>2\)
よって、
\(x=3\)

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x(x-3)=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(\displaystyle x(x-3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(x^2-3x-4=0\)
\((x+1)(x-4)=0\)
\(x=-1,4\)
真数条件より、
\(x>0,x-3>0\)
すなわち、\(x>3\)
よって、
\(x=4\)

\(\displaystyle \log_{3}(x-1)-\frac{\log_{3}(x+1)}{\log_{3}\frac{1}{3}}=1\)
\(\displaystyle \log_{3}(x-1)-\frac{\log_{3}(x+1)}{\log_{3}3^{-1}}=1\)
\(\log_{3}(x-1)+\log_{3}(x+1)=1\)
\(\log_{3}(x-1)(x+1)=\log_{3}3^1\)
\((x-1)(x+1)=3^1\)
\(x^2-4=0\)
\((x+2)(x-2)=0\)
\(x=-2,2\)
真数条件より、
\(x-1>0,x+1>0\)
すなわち、\(x>1\)
よって、
\(x=2\)

\(\displaystyle \log_{3}(x+1)=\frac{\log_{3}(x+3)}{\log_{3}9}\)
\(\displaystyle \log_{3}(x+1)=\frac{\log_{3}(x+3)}{\log_{3}3^2}\)
\(2\log_{3}(x+1)=\log_{3}(x+3)\)
\(\log_{3}(x+1)^2=\log_{3}(x+3)\)
\((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\)
真数条件より、
\(x+1>0,x+3>0\)
すなわち、\(x>-1\)
よって、
\(x=1\)

\(3-2x\geqq x\)
\(x\leqq1\)
真数条件より、
\(3-2x>0,x>0\)
すなわち、\(\displaystyle 0< x<\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle 0< x\leqq1\)

\(\log_{3}(2-x)^2<\log_{3}(x+4)\)
\((2-x)^2< x+4\)
\(x^2-5x<0\)
\(x(x-5)<0\)
\(0< x<5\)
真数条件より、
\(2-x>0,x+4>0\)
すなわち、\(-4< x<2\)
よって、
\(\displaystyle 0< x<2\)

\(\displaystyle \log_{2}x+\frac{\log_{2}(x+1)}{\log_{2}4}<\frac{1}{2}\)
\(2\log_{2}x+\log_{2}(x+1)<1\)
\(\log_{2}x^2(x+1)<\log_{2}2^1\)
\(x^2(x+1)<2^1\)
\(x^3+x^2-2<0\)
\((x-1)(x^2+2x+2)<0\)
\(x<1\)
真数条件より、
\(x>0,x+1>0\)
すなわち、\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle 0< x<1\)

\((\log_{3}x)^2-4\log_{3}x=0\)
\(\log_{3}x(\log_{3}x-4)=0\)
\(\log_{3}x=0,4\)
\(\log_{3}x=\log_{3}3^0,\log_{3}3^4\)
\(x=1,81\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x=1,81\)

\((\log_{5}x)^2+4(\log_{5}5+\log_{5}x)=0\)
\((\log_{5}x)^2+4\log_{5}x+4=0\)
\((\log_{5}x+2)^2=0\)
\(\log_{5}x=-2\)
\(\log_{5}x=\log_{5}5^{-2}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{25}\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{25}\)

\((\log_{\frac{1}{2}}x)^2+2\log_{\frac{1}{2}}x=0\)
\(\log_{\frac{1}{2}}x(\log_{\frac{1}{2}}x+2)=0\)
\(\log_{\frac{1}{2}}x=0,-2\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^0,\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(\displaystyle x=\left(\frac{1}{2}\right)^0,\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(x=1,4\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(x=1,4\)

\((\log_{3}x+1)(\log_{3}x-2)\geqq0\)
\(\log_{3}x\leqq-1,2\leqq\log_{3}x\)
\(\log_{3}x\leqq\log_{3}3^{-1},\log_{3}3^2\leqq\log_{3}x\)
\(\displaystyle x\leqq\frac{1}{3},9\leqq x\)
真数条件より、
\(x>0\)
よって、
\(\displaystyle 0< x\leqq\frac{1}{3},9\leqq x\)

\(\displaystyle \frac{\log_{3}3}{\log_{3}x}+2\log_{3}x\geqq3\)
\(2(\log_{3}x)^2-3\log_{3}x+1\geqq0\)
\((2\log_{3}x-1)(\log_{3}x-1)\geqq0\)
\(\displaystyle \log_{3}x\leqq\frac{1}{2},1\leqq\log_{3}x\)
\(\displaystyle \log_{3}x\leqq\log_{3}3^{\frac{1}{2}},\log_{3}3^1\leqq\log_{3}x\)
\(x\leqq\sqrt{3},3\leqq x\)
真数条件、底\(x>1\)より、
\(x>1\)
よって、
\(1< x\leqq\sqrt{3},3\leqq x\)

\(y=(\log_{2}x)^2-\log_{2}x^2\)
\(\ \ =(\log_{2}x)^2-2\log_{2}x\)
\(\ \ =(\log_{2}x-1)^2-1\)
定義域は\(1\leqq x\leqq16\)より、\(\displaystyle 0\leqq\log_{2}x\leqq4\)
\(\log_{2}x=4\)のとき、最大値\(8\)
\(x=16\)
\(\log_{2}x=1\)のとき、最小値\(-1\)
\(x=2\)
よって、
最大値は\(8\)(\(x=16\)のとき)
最小値は\(-1\)(\(x=2\)のとき)

\(y=(\log_{2}x)^2-3\log_{2}x\)
\(\displaystyle \ \ =\left(\log_{2}x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\)
真数条件より、
\(x>0\)
\(\displaystyle \log_{2}x=\frac{3}{2}\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{9}{4}\)
\(x=2\sqrt{2}\)
よって、
最大値なし
最小値は\(\displaystyle -\frac{9}{4}\)(\(x=2\sqrt{2}\)のとき)

\(y=\log_{2}x(1-2x)\)
\(\ \ =\log_{2}(-2x^2+x)\)
\(\displaystyle \ \ =\log_{2}\left\{-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{8}\right\}\)
真数条件より、
\(1-2x>0,x>0\)
すなわち、\(\displaystyle 0< x<\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{4}\)のとき、最大値\(\displaystyle \log_{2}\left(\frac{1}{8}\right)\)
最小値なし

\(\displaystyle y=\left(\frac{\log_{3}x}{\log_{3}\frac{1}{9}}\right)^2+\log_{3}x\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{4}(\log_{3}x)^2+\log_{3}x\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{4}(\log_{3}x+2)^2-1\)
\(\log_{3}x=-2\)のとき、最小値\(-1\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{9}\)
よって、
最大値なし
最小値は\(-1\)(\(\displaystyle x=\frac{1}{9}\)のとき)

\(\displaystyle y=(\log_{2}2+\log_{2}x)\left(\frac{\log_{2}x}{\log_{2}\frac{1}{4}}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =(1+\log_{2}x)\left(-\frac{1}{2}\log_{2}x\right)\)
\(\displaystyle \ \ =-\frac{1}{2}\left(\log_{2}x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle \log_{2}x=-\frac{1}{2}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{1}{8}\)
\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
よって、
最大値は\(\displaystyle \frac{1}{8}\)(\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)のとき)
最小値なし