【高校数学Ⅱ】5-2-1 対数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「対数」について整理しています。指数と対数の関係、対数の性質、底の変換公式の使い方を図や例題を通してわかりやすく解説します。指数関数の復習や入試対策にも役立つ重要単元です。
指数と対数の関係
【指数と対数の関係】
\(a>0,a\neq1,M>0\)で、\(p\)が実数のとき、
\(M=a^p\)ならば、\(\log_{a}M=p\)
と定義する。
この\(p\)の値を\(a\)を底とする\(M\)の対数といい、\(M\)をこの対数の真数という。
また、
\(\log_{a}1=0\)
\(\log_{a}a=1\)
と定義される。
【例題】次の計算をしなさい。
\(=2\)
\(=3\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle =-\frac{3}{2}\)
対数の性質と計算ルール
【対数の性質】
\(M>0,N>0\)のとき、
(1)\(\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}MN\)
(2)\(\displaystyle \log_{a}M-\log_{a}N=\log_{a}\frac{M}{N}\)
(3)\(\log_{a}M^k=k\log_{a}M\)
【例題】次の計算をしなさい。
\(=\log_{9}81\)
\(=\log_{9}9^2\)
\(=2\)
\(\displaystyle =\log_{2}\frac{1}{8}\)
\(=\log_{2}2^{-3}\)
\(=-3\)
\(\displaystyle =\log_{2}\frac{9・12}{27}\)
\(=\log_{2}4\)
\(=\log_{2}2^2\)
\(=2\)
底の変換公式の使い方と応用
【底の変換公式】
\(a,b,c\)は正の数で、\(a\neq1,b\neq1,c\neq1\)のとき、
\(\displaystyle \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)
【例題】次の計算をしなさい。
\(\displaystyle =\frac{\log_{2}2^5}{\log_{2}2^3}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{3}\)
\(\displaystyle =\log_{5}25\)
\(\displaystyle =\log_{5}5^2\)
\(\displaystyle =2\)
\(\displaystyle =3\log_{3}2・\frac{\log_{3}3}{\log_{3}2}\)
\(=3\)