指数と対数の関係
【指数と対数の関係】
\(a>0,a\neq1,M>0\)で、\(p\)が実数のとき、\(M=a^p\)ならば、\(\log_{a}M=p\)
と定義する。
この\(p\)の値を\(a\)を底とする\(M\)の対数といい、\(M\)をこの対数の真数という。
また、
\(\log_{a}1=0\)
\(\log_{a}a=1\)
と定義される。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\log_{7}49\)
\(=\log_{7}7^2\)
\(=2\)
(2)\(\log_{2}8\)
\(=\log_{2}2^3\)
\(=3\)
(3)\(\log_{5}\sqrt[3]{5}\)
\(=\log_{5}5^{\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)
(4)\(\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{27}\)
\(\displaystyle =\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle =-\frac{3}{2}\)
対数の性質
【対数の性質】
\(M>0,N>0\)のとき、
(1)\(\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}MN\)
(2)\(\displaystyle \log_{a}M-\log_{a}N=\log_{a}\frac{M}{N}\)
(3)\(\log_{a}M^k=k\log_{a}M\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\log_{9}3+\log_{9}27\)
\(=\log_{9}(3×27)\)
\(=\log_{9}81\)
\(=\log_{9}9^2\)
\(=2\)
(2)\(\log_{2}3-\log_{2}24\)
\(\displaystyle =\log_{2}\frac{3}{24}\)
\(\displaystyle =\log_{2}\frac{1}{8}\)
\(=\log_{2}2^{-3}\)
\(=-3\)
(3)\(\log_{2}9+\log_{2}12-3\log_{2}3\)
\(=\log_{2}9+\log_{2}12-\log_{2}3^3\)
\(\displaystyle =\log_{2}\frac{9・12}{27}\)
\(=\log_{2}4\)
\(=\log_{2}2^2\)
\(=2\)
底の変換公式
【底の変換公式】
\(a,b,c\)は正の数で、\(a\neq1,b\neq1,c\neq1\)のとき、
\(\displaystyle \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\log_{8}32\)
\(\displaystyle =\frac{\log_{2}32}{\log_{2}8}\)
\(\displaystyle =\frac{\log_{2}2^5}{\log_{2}2^3}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{3}\)
(2)\(\log_{5}2・\log_{2}25\)
\(\displaystyle =\log_{5}2・\frac{\log_{5}25}{\log_{5}2}\)
\(\displaystyle =\log_{5}25\)
\(\displaystyle =\log_{5}5^2\)
\(\displaystyle =2\)
(3)\(\log_{3}2・\log_{2}27\)
\(=\log_{3}2・\log_{2}3^3\)
\(\displaystyle =3\log_{3}2・\frac{\log_{3}3}{\log_{3}2}\)
\(=3\)