【高校数学Ⅱ】3-2-2 円と直線｜問題集
1.次の円と直線の共有点を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2=25,y=x+1\)
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(x+1)^2=25\)
\(2x^2+2x-24=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4,3\)
\(x=-4\)のとき、\(y=-3\)
\(x=3\)のとき、\(y=4\)
よって、
\((-4,-3),(3,4)\)
\(x^2+(x+1)^2=25\)
\(2x^2+2x-24=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4,3\)
\(x=-4\)のとき、\(y=-3\)
\(x=3\)のとき、\(y=4\)
よって、
\((-4,-3),(3,4)\)
(2)\(x^2+y^2=8,x+y=4\)
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(-x+4)^2=8\)
\(2x^2-8x+8=0\)
\((x-2)^2=0\)
\(x=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=2\)
よって、
\((2,2)\)
\(x^2+(-x+4)^2=8\)
\(2x^2-8x+8=0\)
\((x-2)^2=0\)
\(x=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=2\)
よって、
\((2,2)\)
(3)\(x^2+y^2+6x-4y+9=0,x+y-1=0\)
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(-x+1)^2+6x-4(-x+1)+9=0\)
\(2x^2+8x+6=0\)
\(2(x+1)(x+3)=0\)
\(x=-1,-3\)
\(x=-1\)のとき、\(y=2\)
\(x=-3\)のとき、\(y=4\)
よって、
\((-1,2),(-3,4)\)
\(x^2+(-x+1)^2+6x-4(-x+1)+9=0\)
\(2x^2+8x+6=0\)
\(2(x+1)(x+3)=0\)
\(x=-1,-3\)
\(x=-1\)のとき、\(y=2\)
\(x=-3\)のとき、\(y=4\)
よって、
\((-1,2),(-3,4)\)
2.円\(x^2+y^2=5\)と直線\(y=2x+m\)について次の問いに答えなさい。
(1)円と直線が共有点を持つとき、定数\(m\)の値の範囲を求めなさい。
直線の方程式を円の方程式に代入すると、
\(x^2+(2x+m)^2=5\)
\(5x^2+4mx+m^2-5=0\)
この式の判別式\(D\)は、
\(D=(4m)^2-4・5・(m^2-5)\)
\(\ \ =-4m^2+100\)
共有点を持つことから、\(D\geqq0\)なので、
\(m^2-25\leqq0\)
\((m+5)(m-5)\leqq0\)
\(-5\leqq m\leqq 5\)
\(x^2+(2x+m)^2=5\)
\(5x^2+4mx+m^2-5=0\)
この式の判別式\(D\)は、
\(D=(4m)^2-4・5・(m^2-5)\)
\(\ \ =-4m^2+100\)
共有点を持つことから、\(D\geqq0\)なので、
\(m^2-25\leqq0\)
\((m+5)(m-5)\leqq0\)
\(-5\leqq m\leqq 5\)
(2)円と直線が接するとき、定数\(m\)と接点を求めなさい。
共有点を接するから、\(D=0\)なので、
\(m^2-25=0\)
\((m+5)(m-5)=0\)
\(m=\pm5\)
\(m=5\)のとき、\(x=-2,y=1\)
\(m=-5\)のとき、\(x=2,y=-1\)
よって、
\(m=5\)のとき、\((-2,1)\)
\(m=-5\)のとき、\((2,-1)\)
\(m^2-25=0\)
\((m+5)(m-5)=0\)
\(m=\pm5\)
\(m=5\)のとき、\(x=-2,y=1\)
\(m=-5\)のとき、\(x=2,y=-1\)
よって、
\(m=5\)のとき、\((-2,1)\)
\(m=-5\)のとき、\((2,-1)\)
3.次の円と直線が接するとき、\(a\)の値を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2=a^2,3x+y-10=0\)
円の中心\((0,0)\)と直線\(3x+y-10=0\)の距離\(a\)は
\(\displaystyle a=\frac{|3・0+0-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(\ \ =\sqrt{10}\)
\(\displaystyle a=\frac{|3・0+0-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(\ \ =\sqrt{10}\)
(2)\(x^2+y^2=4,y=2x+a\)
円の中心\((0,0)\)と直線\(2x-y+a=0\)の距離\(2\)は
\(\displaystyle 2=\frac{|2・0+0+a|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{|a|}{\sqrt{5}}\)
\(a=\pm2\sqrt{5}\)
\(\displaystyle 2=\frac{|2・0+0+a|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{|a|}{\sqrt{5}}\)
\(a=\pm2\sqrt{5}\)
4.円\(x^2+y^2=8\)と直線\(x-y+2=0\)の交点を\(A,B\)とするとき、線分\(AB\)の長さを求めなさい。
円の中心\((0,0)\)と直線\(x-y+2=0\)の距離\(d\)は
\(\displaystyle d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\ \ =\sqrt{2}\)
円の半径\(2\sqrt{2}\)なので、三平方の定理より、
\(\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^2=(2\sqrt{2})^2-d^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\)
\(AB=2\sqrt{6}\)
\(\displaystyle d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\ \ =\sqrt{2}\)
円の半径\(2\sqrt{2}\)なので、三平方の定理より、
\(\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^2=(2\sqrt{2})^2-d^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\)
\(AB=2\sqrt{6}\)
5.次の円上の点における接線方程式を求めなさい。
(1)円\(x^2+y^2=13\)、点\((2,-3)\)
\(2x-3y=13\)
(2)円\(x^2+y^2=16\)、点\((4,0)\)
\(4x=16\)
\(x=4\)
\(x=4\)
(3)円\(x^2+y^2=9\)、点\((1,2\sqrt{2})\)
\(x+2\sqrt{2}y=9\)
(4)円\(x^2+y^2=4\)、点\((\sqrt{3},1)\)
\(\sqrt{3}x+y=4\)
(5)円\(x^2+y^2-2x-8y=0\)、点\((2,0)\)
円の方程式を変形すると、
\((x-1)^2+(y-4)^2=17\)
よって、接線方程式は
\((2-1)(x-1)+(0-4)(y-4)=17\)
\(x-4y=2\)
\((x-1)^2+(y-4)^2=17\)
よって、接線方程式は
\((2-1)(x-1)+(0-4)(y-4)=17\)
\(x-4y=2\)
(6)円\(x^2+y^2+2x+4y=0\)、点\((0,0)\)
円の方程式を変形すると、
\((x+1)^2+(y+2)^2=5\)
よって、接線方程式は
\((0+1)(x+1)+(0+2)(y+2)=5\)
\(x+2y=0\)
\((x+1)^2+(y+2)^2=5\)
よって、接線方程式は
\((0+1)(x+1)+(0+2)(y+2)=5\)
\(x+2y=0\)
6.次の円外の点を通る円の接線方程式を求めなさい。
(1)円\(x^2+y^2=1\)、点\((2,1)\)
接点を\((a,b)\)とおく。
接点は円上にあるので、
\(a^2+b^2=1\)・・・(1)
円の接線方程式より、
\(ax+by=1\)
点\((2,1)\)を通るので、
\(2a+b=1\)・・・(2)
(1),(2)を解くと、
\(\displaystyle a=0,\frac{4}{5}\)
\(a=0\)のときは不適。
\(\displaystyle a=\frac{4}{5}\)のとき、\(\displaystyle b=-\frac{3}{5}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y=1\)
接点は円上にあるので、
\(a^2+b^2=1\)・・・(1)
円の接線方程式より、
\(ax+by=1\)
点\((2,1)\)を通るので、
\(2a+b=1\)・・・(2)
(1),(2)を解くと、
\(\displaystyle a=0,\frac{4}{5}\)
\(a=0\)のときは不適。
\(\displaystyle a=\frac{4}{5}\)のとき、\(\displaystyle b=-\frac{3}{5}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y=1\)
(2)円\(x^2+y^2=1\)、点\((-1,3)\)
接点を\((a,b)\)とおく。
接点は円上にあるので、
\(a^2+b^2=1\)・・・(1)
円の接線方程式より、
\(ax+by=1\)
点\((-1,3)\)を通るので、
\(-a+3b=1\)・・・(2)
(1),(2)を解くと、
\(\displaystyle a=-1,\frac{4}{5}\)
\(a=-1\)のとき、\(b=0\)
\(\displaystyle a=\frac{4}{5}\)のとき、\(\displaystyle b=\frac{3}{5}\)
よって、
\(x=-1\)
\(4x+3y=5\)
接点は円上にあるので、
\(a^2+b^2=1\)・・・(1)
円の接線方程式より、
\(ax+by=1\)
点\((-1,3)\)を通るので、
\(-a+3b=1\)・・・(2)
(1),(2)を解くと、
\(\displaystyle a=-1,\frac{4}{5}\)
\(a=-1\)のとき、\(b=0\)
\(\displaystyle a=\frac{4}{5}\)のとき、\(\displaystyle b=\frac{3}{5}\)
よって、
\(x=-1\)
\(4x+3y=5\)
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