【高校数学Ⅱ】2-2-2 高次方程式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「高次方程式」について要点を整理しています。次数が3以上の高次方程式の解法、相反方程式、1の3乗根の性質を例題とともに学習可能。定期テストや入試に役立つ知識を効率的に学べます。
次数3以上の高次方程式の解法
【高次方程式の解き方】
高次方程式は因数定理と組立除法を活用して解く。
【例題】次の方程式を解きなさい。
(1)\(x^3-1=0\)
\((x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\displaystyle x=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
\(\displaystyle x=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
(2)\(x^4-7x^2-18=0\)
\((x^2-9)(x^2+2)=0\)
\((x+3)(x-3)(x^2+2)=0\)
\(x=\pm3,\pm\sqrt{2}i\)
\((x+3)(x-3)(x^2+2)=0\)
\(x=\pm3,\pm\sqrt{2}i\)
(3)\(x^3-10x^2+18x+9=0\)
\((x-3)(x^2-7x-3)=0\)
\(\displaystyle x=3,\frac{7\pm\sqrt{61}}{2}\)
\(\displaystyle x=3,\frac{7\pm\sqrt{61}}{2}\)
(4)\(x^4-5x^3+6x^2+4x-8=0\)
\((x+1)(x^3-6x^2+12x-8)=0\)
\((x+1)(x-2)^3=0\)
\(x=-1,2\)
\((x+1)(x-2)^3=0\)
\(x=-1,2\)
相反方程式の解き方
【相反方程式】
係数が左右対称である方程式を相反方程式という。
偶数次の相反方程式は、\(x\neq0\)であることを確認し、両辺を\(x\)で割り\(\displaystyle x,\frac{1}{x}\)の対称式を作る。
奇数次の相反方程式は、\(x=-1\)を解にもつので、\(x+1\)で因数分解したのち、偶数時の相反方程式になる。
【例題】次の方程式を解きなさい。
\(x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0\)
\(x=0\)ではないことから、\(x^2\)で割る。
\(\displaystyle x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+12=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}-3\right)\left(x+\frac{1}{x}-4\right)=0\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}-3=0\)より、\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}-4=0\)より、\(x=2\pm\sqrt{3}\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},2\pm\sqrt{3}\)
\(\displaystyle x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+12=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}-3\right)\left(x+\frac{1}{x}-4\right)=0\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}-3=0\)より、\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}-4=0\)より、\(x=2\pm\sqrt{3}\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},2\pm\sqrt{3}\)
1の3乗根とその性質
【1の3乗根】
\(x^3=1\)の解は\(\displaystyle x=1,\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
この虚数解の\(1\)つを\(\omega\)とすると、
(1)\(\omega^3=1\)
(2)\(\omega^2+\omega+1=0\)
が成り立つ。
【例題】\(1\)の\(3\)乗根のうち、虚数解である\(1\)つを\(\omega\)とするとき、次の値を求めなさい。
(1)\(\omega^2+\omega+5\)
\(=\omega^2+\omega+1+4\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)より、
\(=0+4\)
\(=4\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)より、
\(=0+4\)
\(=4\)
(2)\(\omega^6\)
\(=(\omega^3)^2\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=1^2\)
\(=1\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=1^2\)
\(=1\)
(3)\(\omega^8+\omega^7\)
\(=(\omega^3)^2\omega^2+(\omega^3)^2\omega\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=\omega^2+\omega\)
\(\omega^2+\omega=-1\)より、
\(=-1\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=\omega^2+\omega\)
\(\omega^2+\omega=-1\)より、
\(=-1\)
(4)\(\omega^{100}+\omega^{50}+1\)
\(=(\omega^3)^{33}\omega+(\omega^3)^{16}\omega^2+1\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=\omega+\omega^2+1\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)より、
\(=0\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=\omega+\omega^2+1\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)より、
\(=0\)
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