2つの円の位置関係
【2つの円の位置関係】
\(2\)つの円で、大きい円の半径を\(R\)、小さい円の半径を\(r\)、中心間の距離を\(d\)とするとき、\(2\)つの円の位置関係は\(5\)つに分類できる。(2)\(d=R+r\)のとき、外接する。
(3)\(R-r< d< R+r\)のとき、\(2\)点で交わる。
(4)\(d=R-r\)のとき、内接する。
(5)\(d< R-r\)のとき、内部にある。
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)中心\((4,-3)\)で円\(x^2+y^2=1\)を内接する円の方程式を答えなさい。
\(2\)つの円の中心点\((0,0),(4,-3)\)の距離\(d\)は
\(d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-0)^2}=5\)
\(2\)つの円が内接するので、
\(5=R-1\)
\(R=6\)
よって、
\((x-4)^2+(x+3)^2=36\)
(2)中心\((4,-3)\)で円\(x^2+y^2=1\)を外接する円の方程式を答えなさい。
\(2\)つの円の中心点\((0,0),(4,-3)\)の距離\(d\)は
\(d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-0)^2}=5\)
\(2\)つの円が外接するので、
\(5=R+1\)
\(R=4\)
よって、
\((x-4)^2+(x+3)^2=16\)
2つの円の共有点
【2つの円の共有点】
\(2\)つの円の共有点の求め方は
(1)\(x^2,y^2\)を消去して、\(x,y\)の一次方程式を作成。
(2)できた一次方程式を元の円の方程式に代入して、\(x,y\)を求める。
【例題】\(x^2+y^2=10\)と\(x^2+y^2+x-2y-5=0\)の\(2\)つの円の共有点を求めなさい。
\(x^2+y^2=10\)をもう一方の円の方程式に代入。
\(10+x-2y-5=0\)
\(x=2y-5\)
この式を\(x^2+y^2=10\)に代入する。
\((2y-5)^2+y^2=10\)
\(y^2-4y+3=0\)
\((y-1)(y-3)=0\)
\(y=1,3\)
\(y=1\)のとき、\(x=-3\)
\(y=3\)のとき、\(x=1\)
よって、
\((-3,1),(1,3)\)
2つの円の交点を通る直線と円
【\(2\)つの円の交点を通る直線の方程式】
【\(2\)つの円の交点を通る円の方程式】
【例題】\(x^2+y^2=5\)と\(x^2+y^2-2x-6y+1=0\)の\(2\)つの円がある。次の問いに答えなさい。
(1)\(2\)つの交点を通る直線の方程式を求めなさい。
\(k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2-2x-6y+1)=0\)
直線の方程式は\(k=-1\)のときなので、
\(-x^2-y^2+5+x^2+y^2-2x-6y+1=0\)
\(x+3y-3=0\)
(2)\(2\)つの交点と点\((2,3)\)を通る円の方程式を求めなさい。
\(k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2-2x-6y+1)=0\)
点\((2,3)\)を通るので、
\(k(2^2+3^2-5)+(2^2+3^2-2・2-6・3+1)=0\)
\(8k-8=0\)
\(k=1\)
円の方程式は\(k=1\)のときなので、
\(x^2+y^2-5+x^2+y^2-2x-6y+1=0\)
\(x^2+y^2-x-3y-2=0\)