3-2-3 2つの円(要点)

2つの円の位置関係

【2つの円の位置関係】

\(2\)つの円で、大きい円の半径を\(R\)、小さい円の半径を\(r\)、中心間の距離を\(d\)とするとき、\(2\)つの円の位置関係は\(5\)つに分類できる。
R r d
(1)\(d>R+r\)のとき、外部にある。
(2)\(d=R+r\)のとき、外接する。
(3)\(R-r< d< R+r\)のとき、\(2\)点で交わる。
(4)\(d=R-r\)のとき、内接する。
(5)\(d< R-r\)のとき、内部にある。

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)中心\((4,-3)\)で円\(x^2+y^2=1\)を内接する円の方程式を答えなさい。

(2)中心\((4,-3)\)で円\(x^2+y^2=1\)を外接する円の方程式を答えなさい。

2つの円の共有点

【2つの円の共有点】

\(2\)つの円の共有点の求め方は
(1)\(x^2,y^2\)を消去して、\(x,y\)の一次方程式を作成。
(2)できた一次方程式を元の円の方程式に代入して、\(x,y\)を求める。


【例題】\(x^2+y^2=10\)と\(x^2+y^2+x-2y-5=0\)の\(2\)つの円の共有点を求めなさい。

2つの円の交点を通る直線と円

【\(2\)つの円の交点を通る直線の方程式】

\begin{cases}x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ x^2+y^2+dx+ey+f=0\end{cases}
の交点を定数\(k\)を用いて、
\(k(x^2+y^2+ax+by+c)+(x^2+y^2+dx+ey+f)=0\)
と表すことができる。
\(k=1\)のとき、\(2\)点を通る直線の方程式となる。

【\(2\)つの円の交点を通る円の方程式】

\begin{cases}x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ x^2+y^2+dx+ey+f=0\end{cases}
の交点を定数\(k\)を用いて、
\(k(x^2+y^2+ax+by+c)+(x^2+y^2+dx+ey+f)=0\)
と表すことができる。
定数\(k\)は、接点の座標を代入すると円の方程式となる。


【例題】\(x^2+y^2=5\)と\(x^2+y^2-2x-6y+1=0\)の\(2\)つの円がある。次の問いに答えなさい。

(1)\(2\)つの交点を通る直線の方程式を求めなさい。

(2)\(2\)つの交点と点\((2,3)\)を通る円の方程式を求めなさい。

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1章 式と証明

1-1 式と計算

1-2 等式と不等式の証明

2章 複素数と方程式

2-1 複素数と二次方程式

2-2 高次方程式

3章 図形と方程式

3-1 点と直線

3-2 円と直線

3-3 軌跡と領域

4章 三角関数

4-1 三角関数

4-2 加法定理

5章 指数関数と対数関数

5-1 指数関数

5-2 対数関数

6章 微分と積分

6-1 微分係数と導関数

6-2 関数の値の変化

6-3 積分法

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