【高校数学Ⅱ】3-2-3 2つの円｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「2つの円」について要点を整理しています。2つの円の位置関係の判定方法、共有点の条件、交点を通る直線と円の方程式を解説。定期テストや大学入試で頻出のテーマを効率よく学習できます。
2つの円の位置関係の判定
【2つの円の位置関係】
\(2\)つの円で、大きい円の半径を\(R\)、小さい円の半径を\(r\)、中心間の距離を\(d\)とするとき、\(2\)つの円の位置関係は\(5\)つに分類できる。
(1)\(d>R+r\)のとき、外部にある。
(2)\(d=R+r\)のとき、外接する。
(3)\(R-r< d< R+r\)のとき、\(2\)点で交わる。
(4)\(d=R-r\)のとき、内接する。
(5)\(d< R-r\)のとき、内部にある。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-0)^2}=5\)
\(2\)つの円が内接するので、
\(5=R-1\)
\(R=6\)
よって、
\((x-4)^2+(y+3)^2=36\)
\(d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-0)^2}=5\)
\(2\)つの円が外接するので、
\(5=R+1\)
\(R=4\)
よって、
\((x-4)^2+(x+3)^2=16\)
2つの円が共有点をもつ条件
【2つの円の共有点】
\(2\)つの円の共有点の求め方は
(1)\(x^2,y^2\)を消去して、\(x,y\)の一次方程式を作成。
(2)できた一次方程式を元の円の方程式に代入して、\(x,y\)を求める。
\(10+x-2y-5=0\)
\(x=2y-5\)
この式を\(x^2+y^2=10\)に代入する。
\((2y-5)^2+y^2=10\)
\(y^2-4y+3=0\)
\((y-1)(y-3)=0\)
\(y=1,3\)
\(y=1\)のとき、\(x=-3\)
\(y=3\)のとき、\(x=1\)
よって、
\((-3,1),(1,3)\)
交点を通る直線の方程式と円
【\(2\)つの円の交点を通る直線の方程式】
\(\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ x^2+y^2+dx+ey+f=0\end{array}\right.\)
の交点を定数\(k\)を用いて、
\(k(x^2+y^2+ax+by+c)\)
\(\ \ \ +(x^2+y^2+dx+ey+f)=0\)
と表すことができる。
\(k=1\)のとき、\(2\)点を通る直線の方程式となる。
【\(2\)つの円の交点を通る円の方程式】
\(\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ x^2+y^2+dx+ey+f=0\end{array}\right.\)
の交点を定数\(k\)を用いて、
\(k(x^2+y^2+ax+by+c)\)
\(\ \ \ +(x^2+y^2+dx+ey+f)=0\)
と表すことができる。
定数\(k\)は、接点の座標を代入すると円の方程式となる。
【例題】\(x^2+y^2=5\)と\(x^2+y^2-2x-6y+1=0\)の\(2\)つの円がある。次の問いに答えなさい。
直線の方程式は\(k=-1\)のときなので、
\(-x^2-y^2+5+x^2+y^2-2x-6y+1=0\)
\(x+3y-3=0\)
点\((2,3)\)を通るので、
\(k(2^2+3^2-5)\)
\(\ \ \ +(2^2+3^2-2・2-6・3+1)=0\)
\(8k-8=0\)
\(k=1\)
円の方程式は\(k=1\)のときなので、
\(x^2+y^2-5+x^2+y^2-2x-6y+1=0\)
\(x^2+y^2-x-3y-2=0\)