関数の最大・最小
【例題】次の関数の最大値と最小値を求めなさい。
(1)\(y=x^3+1\ \ (-1\leqq x\leqq1)\)
\(y'=3x^2\)
増減表にまとめると、
\(x\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) |
\(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) | ||
\(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(2\) |
よって、
\(x=1\)のとき、最大値\(2\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(0\)
(2)\(y=x^3-6x^2-15x\ \ (-2\leqq x\leqq2)\)
\(y'=3x^2-12x-15\)
\(\ \ \ =3(x+1)(x-5)\)
増減表にまとめると、
\(x\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(5\) |
\(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | ||
\(y\) | \(-2\) | \(\nearrow\) | \(8\) | \(\searrow\) | \(-46\) | \(\searrow\) | \(-100\) |
よって、
\(x=-1\)のとき、最大値\(8\)
\(x=2\)のとき、最小値\(-46\)