【高校数学Ⅱ】3-2-1 円の方程式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「円の方程式」について要点を整理しています。中心と半径から円の方程式を求める方法、直径の座標からの求め方、さらに3点を通る円の方程式の考え方を解説。定期テストや大学入試で頻出の基礎問題を効率的に理解できます。
円の方程式の基本（中心と半径）
【円の方程式】
中心\((a,b)\)、半径\(r\)の円の方程式は
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
【例題】次の円の方程式を求めなさい。
(1)中心が原点、半径が\(4\)
\(x^2+y^2=16\)
(2)中心が\((1,3)\)、半径が\(4\)
\((x-1)^2+(y-3)^2=16\)
(3)中心が\((-5,4)\)、半径が\(2\sqrt{3}\)
\((x+5)^2+(y-4)^2=12\)
【例題】次の方程式の中心の座標と半径を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2=25\)
\(x^2+y^2=5^2\)
中心が\((0,0)\)、半径が\(5\)
(2)\((x-2)^2+(y-4)^2=49\)
\((x-2)^2+(y-4)^2=7^2\)
中心が\((2,4)\)、半径が\(7\)
(3)\((x+3)^2+(y-2)^2=18\)
\((x+3)^2+(y-2)^2=(3\sqrt{2})^2\)
中心が\((-3,2)\)、半径が\(3\sqrt{2}\)
(4)\(x^2+6x+y^2-8y=0\)
\((x+3)^2-9+(y-4)^2-16=0\)
\((x+3)^2+(y-4)^2=25\)
\((x+3)^2+(y-4)^2=5^2\)
中心が\((-3,4)\)、半径が\(5\)
(5)\(x^2+y^2-4x+10y-7=0\)
\((x-2)^2-4+(y+5)^2-25-7=0\)
\((x-2)^2+(y+5)^2=36\)
\((x-2)^2+(y+5)^2=6^2\)
中心が\((2,-5)\)、半径が\(6\)
直径の座標から円の方程式を求める
【直径の座標と円】
直径の両端の座標\(A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)\)がわかっている時の円の方程式の求め方
(1)線分\(AB\)の中点\(O\)を求める。
\(\displaystyle O\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
(2)円の半径\(AC\)を求める。
\(AC=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\)
(3)円の中心と半径の円の方程式に代入する。
【例題】\(A(2,1),B(4,-3)\)を直径の両端とする円の方程式を求めなさい。
円の中心は
\(\displaystyle \left(\frac{2+4}{2},\frac{1-3}{2}\right)\)\(=(3,-1)\)
円の半径は
\(\sqrt{(3-2)^2+(-1-1)^2}\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2}\)
\(=\sqrt{5}\)
よって、
\((x-3)^2+(y+1)^2=5\)
3点を通る円の方程式の求め方
【3点を通る円】
\(3\)の座標\(A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C)\)がわかっている時の円の方程式の求め方
(1)\(3\)点の座標を\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)に代入する。
(2)連立方程式で\(l,m,n\)を求める。
(3)\(l,m,n\)を\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)に代入する。
【例題】\(A(-2,2),B(1,3),C(-1,-1)\)を通る円の方程式を求めなさい。
\(A(-2,2)\)を通るので、
\((-2)^2+2^2-2l+2m+n=0\)
\(-2l+2m+n=-8\)・・・(1)
\(B(1,3)\)を通るので、
\(1^2+3^2+l+3m+n=0\)
\(l+3m+n=-10\)・・・(2)
\(C(-1,-1)\)を通るので、
\((-1)^2+(-1)^2-l-m+n=0\)
\(-l-m+n=-2\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(l=0,m=-2,n=-4\)
よって、
\(x^2+y^2-2y-4=0\)
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