1.次の条件を満たす点\(P\)の軌跡を求めなさい。
(1)点\(A(-1,0),B(1,0)\)に対して、\(AP^2-BP^2=8\)を満たす点\(P\)
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP^2=(a+1)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+2a+1\)
\(BP^2=(a-1)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-2a+1\)
\(AP^2-BP^2=8\)より、
\((a^2+b^2+2a+1)+(a^2+b^2-2a+1)=8\)
\(4a=8\)
\(a=2\)
よって、
点\(P\)の軌跡は\(x=2\)の直線
(2)点\(A(1,1),B(5,3)\)に対して、等距離にある点\(P\)
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP:BP=1:1\)より、
\(AP=BP\)
\(AP^2=(a-1)^2+(b-1)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-2a-2b+2\)
\(BP^2=(a-5)^2+(b-3)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-10a-6b+34\)
\(a^2+b^2-2a-2b+2=a^2+b^2-10a-6b+34\)
\(8a+4b-32=0\)
よって、
点\(P\)の軌跡は\(2x+y-8=0\)の直線
(3)点\(A(-2,0),B(4,0)\)に対して、距離の比が\(2:1\)にある点\(P\)
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP:BP=2:1\)より、
\(AP=2BP\)
\(AP^2=(a+2)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+4a+4\)
\(BP^2=(a-4)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-8a+16\)
\(a^2+b^2+4a+4=4(a^2+b^2-8a+16)\)
\(3a^2+3b^2-36a+60=0\)
\((a-6)^2+b^2=16\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\((6,0)\)、半径\(4\)の円
(4)点\(A(-3,0),B(2,0)\)に対して、距離の比が\(3:2\)にある点\(P\)
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP:BP=3:2\)より、
\(2AP=3BP\)
\(AP^2=(a+3)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+6a+9\)
\(BP^2=(a-2)^2+b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-4a+4\)
\(4(a^2+b^2+6a+9)=9(a^2+b^2-4a+4)\)
\(5a^2+5b^2-60a=0\)
\((a-6)^2+b^2=36\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\((6,0)\)、半径\(6\)の円
(5)点\(Q\)が円\(x^2+y^2=9\)上を動くとき、点\(A(6,0)\)と点\(Q\)の中点\(P\)
点\(Q\)を\((s,t)\)とする。
\(s^2+t^2=9\)
点\(P\)を\((a,b)\)とする。
\(\displaystyle a=\frac{s+6}{2},b=\frac{t}{2}\)
\(s=2a-6,t=2b\)
これを\(s^2+t^2=9\)に代入すると、
\((2a-6)^2+(2b)^2=4\)
\(4a^2+4b^2-24a+32=0\)
\(\displaystyle (x-3)^2+y^2=\frac{9}{4}\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\((3,0)\)、半径\(\displaystyle \frac{3}{2}\)の円
