【線形代数】8-3-1 直交補空間の定義と性質｜問題集
1.\(\mathbb{R}^4\)の部分空間\(W\)の直交補空間\(W^\perp\)の次元と基底を求めなさい。ただし、\(\mathbb{R}^4\)の内積は標準内積とする。
(1)\(W=\left\langle\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle\)
\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix}\)として、
直交するベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{x})=x_1+2x_2-3x_3+x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{x})=2x_1+5x_2-8x_3+x_4=0\end{array}\right.\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -8 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=2\)
直交するベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{x})=x_1+2x_2-3x_3+x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{x})=2x_1+5x_2-8x_3+x_4=0\end{array}\right.\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -8 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=2\)
(2)\(W=\left\langle\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2 \\ 9\end{pmatrix}\right\rangle\)
\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2 \\ 9\end{pmatrix}\)として、
直交するベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{x})=x_1+2x_2+x_3+3x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{x})=x_1+x_2-x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{x})=-x_1+x_2+2x_3+9x_4=0\end{array}\right.\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 & 9\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 3 & 3 & 12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=2\)
直交するベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{x})=x_1+2x_2+x_3+3x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{x})=x_1+x_2-x_4=0 \\ (\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{x})=-x_1+x_2+2x_3+9x_4=0\end{array}\right.\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 & 9\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 3 & 3 & 12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=2\)
次の学習に進もう！