【線形代数】8-3-1 直交補空間の定義と性質｜要点まとめ
大学数学の線形代数で学ぶ「直交補空間の定義と性質」について要点をまとめました。部分空間の直交補空間の基本的な性質から、具体的な次元・基底の求め方まで分かりやすく解説します。
直交補空間の定義と性質
【直交補空間】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間、\(W\)を\(V\)の部分空間とする。このとき、
\(W^\perp=\{\boldsymbol{v}\in V|\)任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)に対して\((\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0\}\)
で定まる\(V\)の部分空間\(W^\perp\)を\(W\)の直交補空間という。
【直交補空間の性質】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間、\(W_1,W_2\)を\(V\)の部分空間とする。このとき、\(W\)の直交補空間\(W^\perp\)に対して以下が成り立つ。
(1)\(W\cap W_1^\perp=\{\boldsymbol{0}\}\)
(2)\(W_1\subset W_2\)ならば\(W_1^\perp\subset W_2^\perp\)
(3)\((W_1+W_2)^\perp=W_1^\perp\cap W_2^\perp\)
【例題】\(\mathbb{R}^3\)の部分空間\(W\)の直交補空間\(W^\perp\)の次元と基底を求めなさい。ただし、\(\mathbb{R}^3\)の内積は標準内積とする。
\((\boldsymbol{v},\boldsymbol{x})=x_1-3x_2+2x_3=0\)
解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=2\)
直交するベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{x})=x_1-x_2-2x_3=0 \\ (\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{x})=x_1+2x_2+x_3=0\end{array}\right.\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W^\perp\)の基底は\(\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim W^\perp=1\)