【線形代数】7-3-2 1階連立微分方程式｜要点まとめ
大学数学の線形代数で重要な「1階連立微分方程式」の解法を分かりやすく解説します。特性方程式を用いた固有値・固有ベクトルの求め方から、行列の対角化による具体的な一般解の導出まで、丁寧な解答とあわせて確認できます。
1階連立微分方程式
【1階連立微分方程式】
\(a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)\)を実数とする。関数\(x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\cdots,x_n=x_n(t)\)に関する微分方程式
\(\left\{\begin{array}{l}x_1'(t)=a_{11}x_1(t)+a_{12}x_2(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t) \\ x_2'(t)=a_{21}x_1(t)+a_{22}x_2(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)=a_{n1}x_1(t)+a_{n2}x_2(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)\end{array}\right.\)
を定数係数1階連立微分方程式という。
【例題】次の連立微分方程式の解\(x_1=x_1(t),x_2=x_2(t)\)を求めなさい。
\(A=\begin{pmatrix}3 & 8 \\ 4 & -1\end{pmatrix},\)\(\begin{pmatrix}x_1' \\ x_2'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-3 & -8 \\ -4 & t+1\end{vmatrix}\)
\(=t^2-2t-35\)
\(=(t-7)(t+5)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=7,-5\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(7)\)のとき、
\((A-7E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-7E=\begin{pmatrix}-4 & 8 \\ 4 & -8\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(7)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(-5)\)のとき、
\((A+5E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A+5E=\begin{pmatrix}8 & 8 \\ 4 & 4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(-5)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}7 & 0 \\ 0 & -5\end{pmatrix}\)
ここで、\(\begin{pmatrix}y_1(t) \\ y_2(t)\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}x_1(t) \\ x_2(t)\end{pmatrix}\)とすると、
\(\begin{pmatrix}y_1' \\ y_2'\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}x_1' \\ x_2'\end{pmatrix}\)
\(=P^{-1}A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\)
\(=P^{-1}AP\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & 0 \\ 0 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7y_1 \\ -5y_2\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\left\{\begin{array}{l}y_1'=7y_1 \\ y_2'=-5y_2\end{array}\right.\)
これを解くと、\(C_1,C_2\)を任意定数として
\(y_1=C_1e^{7t},y_2=C_2e^{-5t}\)
よって、
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2y_1-y_2 \\ y_1+y_2\end{pmatrix}\)
となり、
\(x_1(t)=2C_1e^{7t}-C_2e^{-5t}\)
\(x_2(t)=C_1e^{7t}+C_2e^{-5t}\)
行列の指数関数
【行列の指数関数】
\(A\in M_n(\mathbb{C})\)に対して、\(n\)次正方行列\(e^A\)を
\(\displaystyle e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =E_n+A+\frac{1}{2!}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\cdots\)
で定める。ただし、\(A^0=E_n\)と約束する。
【行列の指数関数の定理】
\(A\in M_n(\mathbb{C})\)とする。このとき、\(n\)次正方行列\(P\)に対して以下が成り立つ。
(1)\(e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP\)
(2)\(\displaystyle \frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}\)
【例題】次の行列の指数関数\(e^D\)を求めなさい。
\(D^k=\begin{pmatrix}a^k & 0 \\ 0 & b^k\end{pmatrix}\)
よって、
\(\displaystyle e^D=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{D^k}{k!}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\begin{pmatrix}a^k & 0 \\ 0 & b^k\end{pmatrix}\)
\(\ \ \ \ =\begin{pmatrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!} & 0 \\ 0 & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{b^k}{k!}\end{pmatrix}\)
\(\ \ \ \ =\begin{pmatrix}e^a & 0 \\ 0 & e^b\end{pmatrix}\)