【線形代数】7-1-1 固有値と固有ベクトルの定義｜問題集
1.次の行列の固有値と固有ベクトルを求めなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-1 & 1 \\ -1 & x-3\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x-3)-(-1)\)
\(=(x-2)^2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=2\)
\((A-2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(2\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-1 & 1 \\ -1 & x-3\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x-3)-(-1)\)
\(=(x-2)^2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=2\)
\((A-2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(2\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
(2)\(A=\begin{pmatrix}5 & 3 \\ -9 & -5\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-5 & -3 \\ 9 & x+5\end{vmatrix}\)
\(=(x-5)(x+5)-(-27)\)
\(=x^2+2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=\pm\sqrt{2}i\)
・\(\lambda=\sqrt{2}i\)のとき、
\((A-\sqrt{2}iE)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-\sqrt{2}iE=\begin{pmatrix}5-\sqrt{2}i & 3 \\ -9 & -5-\sqrt{2}i\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5+\sqrt{2}i}{9} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-5-\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{C})\)
よって、固有値\(\sqrt{2}i\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-5-\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
・\(\lambda=-\sqrt{2}i\)のとき、
\((A+\sqrt{2}iE)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A+\sqrt{2}iE=\begin{pmatrix}5+\sqrt{2}i & 3 \\ -9 & -5+\sqrt{2}i\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5-\sqrt{2}i}{9} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-5+\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{C})\)
よって、固有値\(-\sqrt{2}i\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-5+\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-5 & -3 \\ 9 & x+5\end{vmatrix}\)
\(=(x-5)(x+5)-(-27)\)
\(=x^2+2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=\pm\sqrt{2}i\)
・\(\lambda=\sqrt{2}i\)のとき、
\((A-\sqrt{2}iE)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-\sqrt{2}iE=\begin{pmatrix}5-\sqrt{2}i & 3 \\ -9 & -5-\sqrt{2}i\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5+\sqrt{2}i}{9} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-5-\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{C})\)
よって、固有値\(\sqrt{2}i\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-5-\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
・\(\lambda=-\sqrt{2}i\)のとき、
\((A+\sqrt{2}iE)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A+\sqrt{2}iE=\begin{pmatrix}5+\sqrt{2}i & 3 \\ -9 & -5+\sqrt{2}i\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5-\sqrt{2}i}{9} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-5+\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{C})\)
よって、固有値\(-\sqrt{2}i\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}-5+\sqrt{2}i \\ 9\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
(3)\(A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 3 \\ -3 & -5 & -3 \\ 3 & 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-1 & -3 & -3 \\ 3 & x+5 & 3 \\ -3 & -3 & x-1\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)^2(x+5)+27+27-9(x+5)+9(x-1)+9(x-1)\)
\(=x^3+3x^2-4\)
\(=(x-1)(x+2)^2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,-2\)
・\(\lambda=1\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}0 & 3 & 3 \\ -3 & -6 & -3 \\ 3 & 3 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ -3 & -6 & -3 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & -6 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(1\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
・\(\lambda=-2\)のとき、
\((A+2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}3 & 3 & 3 \\ -3 & -3 & -3 \\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(-2\)に対する固有ベクトルは\(s\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ ((s,t)\neq(0,0))\)
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-1 & -3 & -3 \\ 3 & x+5 & 3 \\ -3 & -3 & x-1\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)^2(x+5)+27+27-9(x+5)+9(x-1)+9(x-1)\)
\(=x^3+3x^2-4\)
\(=(x-1)(x+2)^2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,-2\)
・\(\lambda=1\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}0 & 3 & 3 \\ -3 & -6 & -3 \\ 3 & 3 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ -3 & -6 & -3 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & -6 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(1\)に対する固有ベクトルは\(t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\neq0)\)
・\(\lambda=-2\)のとき、
\((A+2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の自明でない解であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}3 & 3 & 3 \\ -3 & -3 & -3 \\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、固有値\(-2\)に対する固有ベクトルは\(s\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ ((s,t)\neq(0,0))\)
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