【線形代数】7-3-3 定数係数斉次線形漸化式｜問題集
1.次の漸化式により定まる数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の一般項を求めなさい。
\(a_1=1,\)\(a_2=5,\)\(a_3=-5,\)\(a_{n+3}-4a_{n+2}+a_{n+1}+6a_n=0\ \ (n=1,2,\cdots)\)
実数列全体のなす実ベクトル空間
\(S=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty|a_n\in\mathbb{R}\ (n=1,2,\cdots)\}\)
の3次元部分空間\(W\)を
\(W=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty\in S\)\(\ \ |a_{n+3}-4a_{n+2}+a_{n+1}+6a_n=0\ (n=1,2,\cdots)\}\)
で定義する。このとき、数列\(\mathbf{x}=\{x_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{y}=\{y_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{z}=\{z_n\}_{n=1}^\infty\in W\)を
\(\mathbf{x}=\{x_n\}_{n=1}^\infty=(1,0,0,-6,\cdots)\)
\(\mathbf{y}=\{y_n\}_{n=1}^\infty=(0,1,0,-1,\cdots)\)
\(\mathbf{z}=\{z_n\}_{n=1}^\infty=(0,0,1,4,\cdots)\)
で定めると、\(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\)は\(W\)の基底になる。
そこで、\(W\)の線形変換であるシフト作用素\(\delta:W\longrightarrow W\)について、\(W\)の基底\([\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}]\)に関する表現行列\(A\)を求める。
\(\delta(\mathbf{x})=\{x_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(0,0,-6,\cdots)=-6\mathbf{z}\)
\(\delta(\mathbf{y})=\{y_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(1,0,-1,\cdots)=\mathbf{x}-\mathbf{z}\)
\(\delta(\mathbf{z})=\{z_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(0,1,4,\cdots)=\mathbf{y}+4\mathbf{z}\)
\([\delta(\mathbf{x}),\delta(\mathbf{y}),\delta(\mathbf{z})]=[\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}]\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4\end{pmatrix}\)
求める表現行列は
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t & -1 & 0 \\ 0 & t & -1 \\ 6 & 1 & t-4\end{vmatrix}\)
\(=t^3-4t^2+t+6\)
\(=(t+1)(t-2)(t-3)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=-1,2,3\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
\(\delta\)の固有ベクトルはそれぞれ
\(\{(-1)^{n-1}\}_{n=1}^\infty,\{2^{n-1}\}_{n=1}^\infty,\{3^{n-1}\}_{n=1}^\infty\)
であるから、\(c_1,c_2,c_3\)を用いて
\(a_n=c_1(-1)^{n-1}+c_22^{n-1}+c_33^{n-1}\)
が成り立つ。
\(\left\{\begin{array}{l}a_1=c_1+c_2+c_3=1 \\ a_2=-c_1+2c_2+3c_3=5 \\ a_3=c_1+4c_2+9c_3=-5\end{array}\right.\)
を満たす\(c_1,c_2,c_3\)を求めればよいので、
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 9 & -5\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 3 & 8 & -6\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 4 & -12\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 0 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
よって、
\(a_n=-2\cdot(-1)^{n-1}+6\cdot2^{n-1}-3\cdot3^{n-1}\)
\(a_n=2\cdot(-1)^n+3\cdot2^n-3^n\)
\(S=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty|a_n\in\mathbb{R}\ (n=1,2,\cdots)\}\)
の3次元部分空間\(W\)を
\(W=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty\in S\)\(\ \ |a_{n+3}-4a_{n+2}+a_{n+1}+6a_n=0\ (n=1,2,\cdots)\}\)
で定義する。このとき、数列\(\mathbf{x}=\{x_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{y}=\{y_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{z}=\{z_n\}_{n=1}^\infty\in W\)を
\(\mathbf{x}=\{x_n\}_{n=1}^\infty=(1,0,0,-6,\cdots)\)
\(\mathbf{y}=\{y_n\}_{n=1}^\infty=(0,1,0,-1,\cdots)\)
\(\mathbf{z}=\{z_n\}_{n=1}^\infty=(0,0,1,4,\cdots)\)
で定めると、\(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\)は\(W\)の基底になる。
そこで、\(W\)の線形変換であるシフト作用素\(\delta:W\longrightarrow W\)について、\(W\)の基底\([\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}]\)に関する表現行列\(A\)を求める。
\(\delta(\mathbf{x})=\{x_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(0,0,-6,\cdots)=-6\mathbf{z}\)
\(\delta(\mathbf{y})=\{y_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(1,0,-1,\cdots)=\mathbf{x}-\mathbf{z}\)
\(\delta(\mathbf{z})=\{z_{n+1}\}_{n=1}^\infty=(0,1,4,\cdots)=\mathbf{y}+4\mathbf{z}\)
\([\delta(\mathbf{x}),\delta(\mathbf{y}),\delta(\mathbf{z})]=[\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}]\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4\end{pmatrix}\)
求める表現行列は
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t & -1 & 0 \\ 0 & t & -1 \\ 6 & 1 & t-4\end{vmatrix}\)
\(=t^3-4t^2+t+6\)
\(=(t+1)(t-2)(t-3)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=-1,2,3\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
\(\delta\)の固有ベクトルはそれぞれ
\(\{(-1)^{n-1}\}_{n=1}^\infty,\{2^{n-1}\}_{n=1}^\infty,\{3^{n-1}\}_{n=1}^\infty\)
であるから、\(c_1,c_2,c_3\)を用いて
\(a_n=c_1(-1)^{n-1}+c_22^{n-1}+c_33^{n-1}\)
が成り立つ。
\(\left\{\begin{array}{l}a_1=c_1+c_2+c_3=1 \\ a_2=-c_1+2c_2+3c_3=5 \\ a_3=c_1+4c_2+9c_3=-5\end{array}\right.\)
を満たす\(c_1,c_2,c_3\)を求めればよいので、
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 9 & -5\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 3 & 8 & -6\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 4 & -12\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 0 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\)
よって、
\(a_n=-2\cdot(-1)^{n-1}+6\cdot2^{n-1}-3\cdot3^{n-1}\)
\(a_n=2\cdot(-1)^n+3\cdot2^n-3^n\)
次の学習に進もう！