【線形代数】7-3-4 定数係数斉次線形常微分方程式｜要点まとめ
大学数学の線形代数で重要な「定数係数斉次線形常微分方程式」の解法を分かりやすく解説します。微分作用素を用いた表現行列の求め方から、特性方程式と対角化、初期条件を考慮した具体的な一般解の導出まで、丁寧な解答とあわせて確認できます。
定数係数斉次線形常微分方程式
【定数係数斉次線形微分方程式】
\(n\)を自然数とする。定数\(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R}\)を用いて、関数\(x=x(t)\)に対して
\(a_nx^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\cdots+a_1x'+a_0x=0\)
の形に表せる微分方程式を定数係数斉次線形常微分方程式という。
【例題】次の微分方程式の解\(x=x(t)\)を求めなさい。
\(x'''-2x''-5x'+6x=0,\)\(x(0)=1,x'(0)=2,x''(0)=3\)
\(C^\infty(\mathbb{R})\)の3次元部分空間\(W\)を
\(W=\{x\in C^\infty(\mathbb{R})|x'''-2x''-5x'+6x=0\}\)
で定義する。このとき、\(x_1,x_2,x_3\in W\)を
\(x_1(0)=1,x'_1(0)=0,x''_1(0)=0\)
\(x_2(0)=0,x'_2(0)=1,x''_2(0)=0\)
\(x_3(0)=0,x'_3(0)=0,x''_3(0)=1\)
と定めると、\(x_1,x_2,x_3\)は\(W\)の基底となる。
そこで、\(W\)の線形変換である微分作用素\(\displaystyle \frac{d}{dt}:W\longrightarrow W\)について、\(W\)の基底\([x_1,x_2,x_3]\)に関する表現行列\(A\)を求める。
\(x'''_1(0)=2x''_1(0)+5x'_1(0)-6x_1(0)=-6\)
\(x'''_2(0)=2x''_2(0)+5x'_2(0)-6x_2(0)=5\)
\(x'''_3(0)=2x''_3(0)+5x'_3(0)-6x_3(0)=2\)
ここで、\(y_j=x'_j\ \ (j=1,2,3)\)とおくと、
\(y_1(0)=0,y'_1(0)=0,y''_1(0)=-6\longrightarrow y_1=-6x_3\)
\(y_2(0)=1,y'_2(0)=0,y''_2(0)=5\longrightarrow y_2=x_1+5x_3\)
\(y_3(0)=0,y'_3(0)=1,y''_3(0)=2\longrightarrow y_3=x_2+2x_3\)
\(\displaystyle \left[\frac{dx_1}{dt},\frac{dx_2}{dt},\frac{dx_3}{dt}\right]=[x_1,x_2,x_3]\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{pmatrix}\)
求める表現行列は
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t & -1 & 0 \\ 0 & t & -1 \\ 6 & -5 & t-2\end{vmatrix}\)
\(=t^3-2t^2-5t+6\)
\(=(t-1)(t+2)(t-3)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,-2,3\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
\(\displaystyle \frac{d}{dt}\)の固有ベクトルはそれぞれ
\(e^t,e^{-2t},e^{3t}\)
であるから、\(C_1,C_2,C_3\)を用いて
\(x(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-2t}+C_3e^{3t}\)
が成り立つ。
\(\left\{\begin{array}{l}x(0)=C_1+C_2+C_3=1 \\ x'(0)=C_1-2C_2+3C_3=2 \\ x''(0)=C_1+4C_2+9C_3=3\end{array}\right.\)
を満たす\(C_1,C_2,C_3\)を求めればよいので、
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 8 & 2\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 10 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10}\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & \frac{5}{6} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{15} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10}\end{array}\right)\)
よって、
\(\displaystyle x(t)=\frac{5}{6}e^{t}-\frac{2}{15}e^{-2t}+\frac{3}{10}e^{3t}\)
\(W=\{x\in C^\infty(\mathbb{R})|x'''-2x''-5x'+6x=0\}\)
で定義する。このとき、\(x_1,x_2,x_3\in W\)を
\(x_1(0)=1,x'_1(0)=0,x''_1(0)=0\)
\(x_2(0)=0,x'_2(0)=1,x''_2(0)=0\)
\(x_3(0)=0,x'_3(0)=0,x''_3(0)=1\)
と定めると、\(x_1,x_2,x_3\)は\(W\)の基底となる。
そこで、\(W\)の線形変換である微分作用素\(\displaystyle \frac{d}{dt}:W\longrightarrow W\)について、\(W\)の基底\([x_1,x_2,x_3]\)に関する表現行列\(A\)を求める。
\(x'''_1(0)=2x''_1(0)+5x'_1(0)-6x_1(0)=-6\)
\(x'''_2(0)=2x''_2(0)+5x'_2(0)-6x_2(0)=5\)
\(x'''_3(0)=2x''_3(0)+5x'_3(0)-6x_3(0)=2\)
ここで、\(y_j=x'_j\ \ (j=1,2,3)\)とおくと、
\(y_1(0)=0,y'_1(0)=0,y''_1(0)=-6\longrightarrow y_1=-6x_3\)
\(y_2(0)=1,y'_2(0)=0,y''_2(0)=5\longrightarrow y_2=x_1+5x_3\)
\(y_3(0)=0,y'_3(0)=1,y''_3(0)=2\longrightarrow y_3=x_2+2x_3\)
\(\displaystyle \left[\frac{dx_1}{dt},\frac{dx_2}{dt},\frac{dx_3}{dt}\right]=[x_1,x_2,x_3]\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{pmatrix}\)
求める表現行列は
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t & -1 & 0 \\ 0 & t & -1 \\ 6 & -5 & t-2\end{vmatrix}\)
\(=t^3-2t^2-5t+6\)
\(=(t-1)(t+2)(t-3)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,-2,3\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
\(\displaystyle \frac{d}{dt}\)の固有ベクトルはそれぞれ
\(e^t,e^{-2t},e^{3t}\)
であるから、\(C_1,C_2,C_3\)を用いて
\(x(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-2t}+C_3e^{3t}\)
が成り立つ。
\(\left\{\begin{array}{l}x(0)=C_1+C_2+C_3=1 \\ x'(0)=C_1-2C_2+3C_3=2 \\ x''(0)=C_1+4C_2+9C_3=3\end{array}\right.\)
を満たす\(C_1,C_2,C_3\)を求めればよいので、
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 8 & 2\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 10 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10}\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & \frac{5}{6} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{15} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10}\end{array}\right)\)
よって、
\(\displaystyle x(t)=\frac{5}{6}e^{t}-\frac{2}{15}e^{-2t}+\frac{3}{10}e^{3t}\)
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