【線形代数】7-2-2 行列のn乗｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「行列の$n$乗」の求め方を、対角化の基本から具体的な計算手順まで分かりやすく解説します。実際に解き方の流れがイメージできる実践的な例題と丁寧な解答を通じて、確実に理解を深めることができます。
行列のn乗
【行列のn乗】
(1)\(A\)を\(m\)次正方行列、\(P\)を\(m\)次正則行列とするとき、\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP\)となる。
(2)\(D\)を以下のような\(m\)次対角行列とすると、その\(n\)乗は次のようになる。
\(D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_m\end{pmatrix}\)
\(D^n=\begin{pmatrix}\lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_m^n\end{pmatrix}\)
【例題】自然数\(n\)に対して、次の行列の\(A^n\)を求めなさい。
\(A=\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-4 & -1 \\ -2 & x-3\end{vmatrix}\)
\(=x^2-7x+10\)
\(=(x-2)(x-5)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=2,5\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(5)\)のとき、
\((A-5E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-5E=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(5)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\cdot5^n+2^n & 5^n-2^n \\ 2\cdot5^n-2^{n+1} & 5^n+2^{n+1}\end{pmatrix}\)
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-4 & -1 \\ -2 & x-3\end{vmatrix}\)
\(=x^2-7x+10\)
\(=(x-2)(x-5)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=2,5\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(5)\)のとき、
\((A-5E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-5E=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(5)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\cdot5^n+2^n & 5^n-2^n \\ 2\cdot5^n-2^{n+1} & 5^n+2^{n+1}\end{pmatrix}\)
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