【線形代数】7-3-1 確率行列｜問題集
1.ある業界では\(A\)社、\(B\)社、\(C\)社がサービスを提供し、毎年次のように利用者が契約を変更するとき、長期間後に各社の契約者数の比率はどうなっていくか調べなさい。ただし、全契約者数は毎年一定とし、新規契約や契約解除は考えないものとする。
(1)・\(A\)社から\(A\)社で継続が\(70\)%、\(B\)社へ変更が\(20\)%、\(C\)社へ変更が\(10\)%
・\(B\)社から\(A\)社へ変更が\(10\)%、\(B\)社で継続が\(80\)%、\(C\)社へ変更が\(10\)%
・\(C\)社から\(A\)社へ変更が\(15\)%、\(B\)社へ変更が\(10\)%、\(C\)社で継続が\(75\)%
・\(B\)社から\(A\)社へ変更が\(10\)%、\(B\)社で継続が\(80\)%、\(C\)社へ変更が\(10\)%
・\(C\)社から\(A\)社へ変更が\(15\)%、\(B\)社へ変更が\(10\)%、\(C\)社で継続が\(75\)%
今年の\(A\)社、\(B\)社、\(C\)社の契約者数をそれぞれ\(a_0,b_0,c_0\)とし、\(n\)年後の人数をそれぞれ\(a_n,b_n,c_n\)とする。このとき、\(n\)年後の人数と\(n+1\)年後の人数の関係は
\(\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=0.7a_n+0.1b_n+0.15c_n \\ b_{n+1}=0.2a_n+0.8b_n+0.1c_n \\ c_{n+1}=0.1a_n+0.1b_n+0.75c_n\end{array}\right.\)
行列で表すと
\(A=\begin{pmatrix}0.7 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.8 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.75\end{pmatrix},\)\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}\ \ (n=0,1,2,\cdots)\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-0.7 & -0.1 & -0.15 \\ -0.2 & x-0.8 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & x-0.75\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & x-1 & x-1 \\ -0.2 & x-0.8 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & x-0.75\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & 0 & 0 \\ -0.2 & x-0.6 & 0.1 \\ -0.1 & 0 & x-0.65\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)\begin{vmatrix}x-0.6 & 0.1 \\ 0 & x-0.65\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x^2-1.25x+0.21)\)
\(=(x-1)(x-0.6)(x-0.65)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,0.6,0.65\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(1)\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}-0.3 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & -0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & -0.25\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1.5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(1)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.65)\)のとき、
\((A-0.65E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.65E=\begin{pmatrix}0.05 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.15 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.65)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.6)\)のとき、
\((A-0.6E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.6E=\begin{pmatrix}0.1 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.15\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.6)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_3=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.6^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 5 \\ -7 & 0 & 7\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(=P\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.6^n\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{7}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
\(x=2(a_0+b_0+c_0)+(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
\(\ \ \ \ \ -(-7a_0+7c_0)0.6^n\)
\(y=3(a_0+b_0+c_0)-2(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
\(\ \ \ \ \ +(-7a_0+7c_0)0.6^n\)
\(z=2(a_0+b_0+c_0)+(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\frac{2(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
となり、\(A:B:C=2:3:2\)に限りなく近づく。
\(\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=0.7a_n+0.1b_n+0.15c_n \\ b_{n+1}=0.2a_n+0.8b_n+0.1c_n \\ c_{n+1}=0.1a_n+0.1b_n+0.75c_n\end{array}\right.\)
行列で表すと
\(A=\begin{pmatrix}0.7 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.8 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.75\end{pmatrix},\)\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}\ \ (n=0,1,2,\cdots)\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-0.7 & -0.1 & -0.15 \\ -0.2 & x-0.8 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & x-0.75\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & x-1 & x-1 \\ -0.2 & x-0.8 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & x-0.75\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & 0 & 0 \\ -0.2 & x-0.6 & 0.1 \\ -0.1 & 0 & x-0.65\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)\begin{vmatrix}x-0.6 & 0.1 \\ 0 & x-0.65\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x^2-1.25x+0.21)\)
\(=(x-1)(x-0.6)(x-0.65)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,0.6,0.65\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(1)\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}-0.3 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & -0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & -0.25\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1.5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(1)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.65)\)のとき、
\((A-0.65E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.65E=\begin{pmatrix}0.05 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.15 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.65)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.6)\)のとき、
\((A-0.6E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.6E=\begin{pmatrix}0.1 & 0.1 & 0.15 \\ 0.2 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.15\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.6)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_3=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.6^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 5 \\ -7 & 0 & 7\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(=P\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.6^n\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{7}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
\(x=2(a_0+b_0+c_0)+(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
\(\ \ \ \ \ -(-7a_0+7c_0)0.6^n\)
\(y=3(a_0+b_0+c_0)-2(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
\(\ \ \ \ \ +(-7a_0+7c_0)0.6^n\)
\(z=2(a_0+b_0+c_0)+(-2a_0-2b_0+5c_0)0.65^n\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\frac{2(a_0+b_0+c_0)}{7}\)
となり、\(A:B:C=2:3:2\)に限りなく近づく。
(2)・\(A\)社から\(A\)社で継続が\(80\)%、\(B\)社へ変更が\(10\)%、\(C\)社へ変更が\(10\)%
・\(B\)社から\(A\)社へ変更が\(20\)%、\(B\)社で継続が\(65\)%、\(C\)社へ変更が\(15\)%
・\(C\)社から\(A\)社へ変更が\(20\)%、\(B\)社へ変更が\(10\)%、\(C\)社で継続が\(70\)%
・\(B\)社から\(A\)社へ変更が\(20\)%、\(B\)社で継続が\(65\)%、\(C\)社へ変更が\(15\)%
・\(C\)社から\(A\)社へ変更が\(20\)%、\(B\)社へ変更が\(10\)%、\(C\)社で継続が\(70\)%
今年の\(A\)社、\(B\)社、\(C\)社の契約者数をそれぞれ\(a_0,b_0,c_0\)とし、\(n\)年後の人数をそれぞれ\(a_n,b_n,c_n\)とする。このとき、\(n\)年後の人数と\(n+1\)年後の人数の関係は
\(\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=0.8a_n+0.2b_n+0.2c_n \\ b_{n+1}=0.1a_n+0.65b_n+0.1c_n \\ c_{n+1}=0.1a_n+0.15b_n+0.7c_n\end{array}\right.\)
行列で表すと
\(A=\begin{pmatrix}0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.65 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.7\end{pmatrix},\)\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}\ \ (n=0,1,2,\cdots)\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-0.8 & -0.2 & -0.2 \\ -0.1 & x-0.65 & -0.1 \\ -0.1 & -0.15 & x-0.7\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & x-1 & x-1 \\ -0.1 & x-0.65 & -0.1 \\ -0.1 & -0.15 & x-0.7\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & 0 & 0 \\ -0.1 & x-0.55 & 0 \\ -0.1 & -0.05 & x-0.6\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)\begin{vmatrix}x-0.55 & 0 \\ -0.05 & x-0.6\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x^2-1.15x+0.33)\)
\(=(x-1)(x-0.6)(x-0.55)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,0.6,0.55\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(1)\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}-0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & -0.35 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & -0.3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{10}{3} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(1)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.6)\)のとき、
\((A-0.6E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.6E=\begin{pmatrix}0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.05 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.6)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.55)\)のとき、
\((A-0.55E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.55E=\begin{pmatrix}0.25 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.15\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.55)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_3=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6 & 0 \\ 0 & 0 & 0.55\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.55^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ -6 & 10 & 10 \\ 3 & -13 & 3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(=P\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.55^n\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{16}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
\(x=10(a_0+b_0+c_0)-(-6a_0+10b_0+10c_0)0.6^n\)
\(y=3(a_0+b_0+c_0)-(-3a_0+13b_0-3c_0)0.55^n\)
\(z=3(a_0+b_0+c_0)+(-6a_0+10b_0+10c_0)0.6^n\)
\(\ \ \ \ \ +(-3a_0+13b_0-3c_0)0.55^n\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{10(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
となり、\(A:B:C=10:3:3\)に限りなく近づく。
\(\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=0.8a_n+0.2b_n+0.2c_n \\ b_{n+1}=0.1a_n+0.65b_n+0.1c_n \\ c_{n+1}=0.1a_n+0.15b_n+0.7c_n\end{array}\right.\)
行列で表すと
\(A=\begin{pmatrix}0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.65 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.7\end{pmatrix},\)\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}\ \ (n=0,1,2,\cdots)\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x-0.8 & -0.2 & -0.2 \\ -0.1 & x-0.65 & -0.1 \\ -0.1 & -0.15 & x-0.7\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & x-1 & x-1 \\ -0.1 & x-0.65 & -0.1 \\ -0.1 & -0.15 & x-0.7\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x-1 & 0 & 0 \\ -0.1 & x-0.55 & 0 \\ -0.1 & -0.05 & x-0.6\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)\begin{vmatrix}x-0.55 & 0 \\ -0.05 & x-0.6\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)(x^2-1.15x+0.33)\)
\(=(x-1)(x-0.6)(x-0.55)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,0.6,0.55\)であり、固有値が全て異なるので\(A\)は対角化可能。
・固有空間\(V(1)\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}-0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & -0.35 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & -0.3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{10}{3} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(1)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.6)\)のとき、
\((A-0.6E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.6E=\begin{pmatrix}0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.05 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.6)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
・固有空間\(V(0.55)\)のとき、
\((A-0.55E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-0.55E=\begin{pmatrix}0.25 & 0.2 & 0.2 \\ 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.15 & 0.15\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
すなわち、\(V(0.55)\)の基底として\(\boldsymbol{p}_3=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
ゆえに、
\(P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6 & 0 \\ 0 & 0 & 0.55\end{pmatrix}\)
ここで、
\((P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.55^n\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ -6 & 10 & 10 \\ 3 & -13 & 3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(=P\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.6^n & 0 \\ 0 & 0 & 0.55^n\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0 \\ c_0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{16}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
\(x=10(a_0+b_0+c_0)-(-6a_0+10b_0+10c_0)0.6^n\)
\(y=3(a_0+b_0+c_0)-(-3a_0+13b_0-3c_0)0.55^n\)
\(z=3(a_0+b_0+c_0)+(-6a_0+10b_0+10c_0)0.6^n\)
\(\ \ \ \ \ +(-3a_0+13b_0-3c_0)0.55^n\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{10(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\frac{3(a_0+b_0+c_0)}{16}\)
となり、\(A:B:C=10:3:3\)に限りなく近づく。
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